logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Inne, zadanie nr 5027

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mar098
postów: 7
2015-02-22 21:51:51

Udowodnij ze funkcja f(x)= $x^{2}+4+\frac{4}{x^{2}}$ dla x$\neq$0 przyjmuje wartości niemniejsze od 8.

W punkcie x=0 istnieje maksimum lokalne ale nie nalezy do dziedziny, dlatego nie wiem co mam teraz zrobic?


irena
postów: 2636
2015-02-23 12:50:56



Skorzystaj z prawdziwości nierówności:

$a^2+b^2\ge2ab$

$x^2+(\frac{2}{x})^2\ge2\cdot x\cdot\frac{2}{x}=4$

Stąd:
$x^2+\frac{4}{x^2}\ge4$

i

$x^2+4+\frac{4}{x^2}\ge4+4=8$

A podana nierówność wynika z
$(a-b)^2\ge0$
$a^2-2ab+b^2\ge0$
$a^2+b^2\ge2ab$


mar098
postów: 7
2015-02-23 20:29:47

A jak mozna to zadanie zrobic z rachunku rozniczkowego? Bo znajduje sie to w tym dziale


Rafał
postów: 407
2015-02-24 10:28:17

Liczymy pochodną ten funkcji:
$f(x)=x^{2}+4+\frac{4}{x^{2}} ; x\neq0$
$f'(x)=2x\frac{-8x}{x^{4}}$
$f'(x)=\frac{2x^{5}-8x}{x^{4}}$

Przyrównujemy pochodną do $0:$
$\frac{2x^{5}-8x}{x^{4}}=0 ; x\neq0$
$2x^{5}-8x=0$
$x(2x^{4}-8)=0$
$x=0$ lub $ 2x^{4}-8=0$
$x=0$ lub $ 2x^{4}=8$
$x=0 $ lub $ x^{4}=4$
$x=0 $ lub $ x=\sqrt{2}$ lub $ x=-\sqrt{2}$

Badamy znaki pochodnej:
0 nie należy do dziedziny, a $\sqrt{2}$ i $-\sqrt{2}$ są minimum lokalnym.
Jeśli $\sqrt{2}$ i $-\sqrt{2}$ jest minimum lokalnym, to w tym przypadku cała funkcja przyjmuje najmniejszą wartość właśnie w argumencie $\sqrt{2}$ i $-\sqrt{2}$ , czyli wystarczy obliczyć:
$f(\sqrt{2})= (\sqrt{2})^{2}+4+\frac{4}{(\sqrt{2})^{2}}=8$
lub
$f(-\sqrt{2})= (-\sqrt{2})^{2}+4+\frac{4}{(-\sqrt{2})^{2}}=8$

Wiadomość była modyfikowana 2015-02-24 10:40:10 przez Rafał
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 46 drukuj