Liczby rzeczywiste, zadanie nr 5054
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| gaha postów: 136 |  2015-03-03 17:01:31Nie chcę tego robić, ale nie mam wyboru. Samemu nie dam rady :) Dowód: ${n \choose 0} - {n \choose 1} + ... + (-1)^{n-1}{n \choose n-1} + (-1)^{n}{n \choose n} = 0$ Proszę o pomoc :) EDIT: Pomyliłem działy, zawsze o tym zapomnę. Nie mogę tego edytować, więc proszę o przeniesienie. Wiadomość była modyfikowana 2015-03-03 17:02:37 przez gaha |
| kebab postów: 106 | 2015-03-03 17:24:47 A znasz ten wzorek? $(x+y)^n={n \choose 0}x^n+{n \choose 1}x^{n-1}y+ \cdots +{n \choose n-1}xy^{n-1}+{n \choose n}y^n$ To podstaw: $x=1$ $y=-1$ :) |
| gaha postów: 136 | 2015-03-03 17:40:40 Teraz znam i wszystko działa :). Ale szczerze powiedziawszy to nigdy go nie potrzebowałem. To dwumian Newtona, prawda? W programie który przerabiamy w szkole nie było tego, a to zadanie pochodzi z podręcznika do 3 liceum. Wątpię, żeby chodziło właśnie o dwumian Newtona. Mi się to rozwiązanie podoba, ale z ciekawości spytam, czy nie istnieje inny sposób? Z właściwości symbolu Newtona? |
| kebab postów: 106 | 2015-03-03 21:58:30 Korzystamy z następującej własności symbolu Newtona: ${n \choose k}={n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}$ dla $0<k<n$ $\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^k={n \choose 0}+\sum_{k=1}^{n-1}{n \choose k}(-1)^k+{n \choose n}(-1)^n=$ $={n-1 \choose 0}+\sum_{k=1}^{n-1}\left[{n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}\right](-1)^k+{n-1 \choose n-1}(-1)^n=$ $=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}(-1)^k+\sum_{k=1}^{n}{n-1 \choose k-1}(-1)^k=$ $=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}(-1)^k+\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}(-1)^{k+1}=$ $=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}(-1)^k-\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}(-1)^{k}=0$ edit: Jeszcze dowód bez znaków sigma. ${n \choose 0}-{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +(-1)^{n-1}{n \choose n-1}+(-1)^n{n \choose n}=$ ${n-1 \choose 0}-\left[ {n-1 \choose 0}+{n-1 \choose 1}\right]+\left[ {n-1 \choose 1}+{n-1 \choose 2}\right]+\cdots +(-1)^{n-1}\left[ {n-1 \choose n-2}+{n-1 \choose n-1}\right]+(-1)^n{n-1 \choose n-1}=$ $\left[{n-1 \choose 0}-{n-1 \choose 0}\right]+\left[{n-1 \choose 1}-{n-1 \choose 1}\right]+\cdots +\left[{n-1 \choose n-1}-{n-1 \choose n-1}\right]=0$ Wiadomość była modyfikowana 2015-03-04 09:50:25 przez kebab |
| gaha postów: 136 | 2015-03-04 19:23:37 Super, o to chodziło :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj