logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 5054

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

gaha
postów: 137
2015-03-03 17:01:31

Nie chcę tego robić, ale nie mam wyboru. Samemu nie dam rady :)

Dowód:
${n \choose 0} - {n \choose 1} + ... + (-1)^{n-1}{n \choose n-1} + (-1)^{n}{n \choose n} = 0$

Proszę o pomoc :)


EDIT: Pomyliłem działy, zawsze o tym zapomnę. Nie mogę tego edytować, więc proszę o przeniesienie.

Wiadomość była modyfikowana 2015-03-03 17:02:37 przez gaha

kebab
postów: 106
2015-03-03 17:24:47

A znasz ten wzorek?
$(x+y)^n={n \choose 0}x^n+{n \choose 1}x^{n-1}y+ \cdots +{n \choose n-1}xy^{n-1}+{n \choose n}y^n$

To podstaw:
$x=1$
$y=-1$
:)


gaha
postów: 137
2015-03-03 17:40:40

Teraz znam i wszystko działa :). Ale szczerze powiedziawszy to nigdy go nie potrzebowałem. To dwumian Newtona, prawda?

W programie który przerabiamy w szkole nie było tego, a to zadanie pochodzi z podręcznika do 3 liceum. Wątpię, żeby chodziło właśnie o dwumian Newtona. Mi się to rozwiązanie podoba, ale z ciekawości spytam, czy nie istnieje inny sposób? Z właściwości symbolu Newtona?


kebab
postów: 106
2015-03-03 21:58:30

Korzystamy z następującej własności symbolu Newtona:
${n \choose k}={n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}$ dla $0<k<n$


$\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^k={n \choose 0}+\sum_{k=1}^{n-1}{n \choose k}(-1)^k+{n \choose n}(-1)^n=$

$={n-1 \choose 0}+\sum_{k=1}^{n-1}\left[{n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}\right](-1)^k+{n-1 \choose n-1}(-1)^n=$

$=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}(-1)^k+\sum_{k=1}^{n}{n-1 \choose k-1}(-1)^k=$

$=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}(-1)^k+\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}(-1)^{k+1}=$

$=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}(-1)^k-\sum_{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}(-1)^{k}=0$


edit:
Jeszcze dowód bez znaków sigma.

${n \choose 0}-{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +(-1)^{n-1}{n \choose n-1}+(-1)^n{n \choose n}=$
${n-1 \choose 0}-\left[ {n-1 \choose 0}+{n-1 \choose 1}\right]+\left[ {n-1 \choose 1}+{n-1 \choose 2}\right]+\cdots +(-1)^{n-1}\left[ {n-1 \choose n-2}+{n-1 \choose n-1}\right]+(-1)^n{n-1 \choose n-1}=$
$\left[{n-1 \choose 0}-{n-1 \choose 0}\right]+\left[{n-1 \choose 1}-{n-1 \choose 1}\right]+\cdots +\left[{n-1 \choose n-1}-{n-1 \choose n-1}\right]=0$

Wiadomość była modyfikowana 2015-03-04 09:50:25 przez kebab

gaha
postów: 137
2015-03-04 19:23:37

Super, o to chodziło :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 6 drukuj