logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Geometria, zadanie nr 5078

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

blehbel
postów: 3
2015-03-09 22:04:17

Prosiłabym o pomoc w jeszcze jednym zadaniu:

Na bokach: AB, BC i AC trójkąta równobocznego ABC obrano odpowiednio punkty: P, Q i R tak, że |AP| = |BQ| = |CR|. Wykaż, że trójkąt PQR jest równoboczny oraz że punkty przecięcia odcinków: AQ, BR i CP są wierzchołkami trójkąta równobocznego.


irena
postów: 2639
2015-03-10 08:55:14

Narysuj ten trójkąt ABC, zaznacz punkty P, Q, R.
|AB|=|AC|=|BC|=a

Trójkąty APR, BQP i CRQ są przystające:
|AP|=|BQ|=|CR|=p - z założenia
|AR|=|BP|=|CQ|=a-p
Kąty PAR, PBQ, RCQ to kąty mające miarę po $60^0$
Cecha (bkb)

Stąd
|PR|=|PQ|=|RQ| - trójkąt PQR jest więc trójkątem równobocznym.

Oznacz:
K- punkt przecięcia AQ i BR
L- punkt przecięcia CP i BR
M- punkt przecięcia CP i AQ

Trójkąty ABR, BCP i CAQ są przystające:
|AB|=|BC|=|AC|=a
|AR|=|BP|=|CQ|=p
Kąty RAB, PBC, QCA to kąty mające po $60^0$

Stąd
|AQ|=|BR|=|CP|=w
i
kąty CAQ, ABR, BCP mają tę samą miarę
oraz
kąty ARB, CPB, AQC mają tę samą miarę
Stąd dalej:
trójkąty AKR, BLP, CMQ są przystające:
|AR|=|BP|=|CQ|=p
Kąty RAK, PBL, MCQ mają tę samą miarę
kąty ARK, BPL, CQM mają tę samą miarę
cecha (kbk)

Stąd:
|AK|=|BL|=|CM|=t
|RK|=|PL|=|MQ|=s
oraz:
|KL|=|ML|=|KM|=w-(t+s)

Czyli- trójkąt KLM jest równoboczny

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj