Geometria, zadanie nr 5218
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
smykl post贸w: 1 |  2015-04-04 12:56:40 |
magda95 post贸w: 120 | 2015-04-04 13:24:14 Niech P(ABC) - pole tr贸jk膮ta ABC, a P(AB) - pole ko艂a o 艣rednicy AB, itd. analogicznie. Pole ksi臋偶yc贸w $= P(AD)/2+P(BD)/2+P(CD)-P(AC)/2+P(ACD)-P(BC)/2+P(BCD) $ Pole tr贸jk膮ta $ = P(ABC) = P(ACD)+P(BCD) $ TEZA: Pole tr贸jk膮ta = Pole ksi臋偶yc贸w $\iff$ $P(AD)/2+P(BD)/2+P(CD)-P(AC)/2+P(ACD)-P(BC)/2+P(BCD) = P(ACD)+P(BCD) $ $\iff$ $P(AD)/2+P(BD)/2+P(CD)-P(AC)/2-P(BC)/2 = 0 $ $\iff$ $P(AD)/2+P(BD)/2+P(CD) = P(AC)/2+P(BC)/2 $ $P(AD)/2 = \pi * (\frac{AD}{2})^{2} /2 = \frac{\pi * AD^{2}}{8} $ Analogicznie rozpisuj膮c pozosta艂e pola uzyskujemy TEZA: $\frac{\pi * AD^{2}}{8} + \frac{\pi * BD^{2}}{8} + \frac{\pi * CD^{2}}{4} = \frac{\pi * AC^{2}}{8} + \frac{\pi * BC^{2}}{8} $ Z twierdzenia Pitagorasa mamy: $ CD^{2} = AC^{2} - AD^{2} $ $ CD^{2} = BC^{2} - BD^{2} $ Przeszta艂caj膮c nieco nasze r贸wnanie uzyskujemy: TEZA: $\frac{\pi * CD^{2}}{4} = \frac{\pi * AC^{2}}{8} - \frac{\pi * AD^{2}}{8} + \frac{\pi * BC^{2}}{8} - \frac{\pi * BD^{2}}{8} $ Czyli: TEZA: $\frac{\pi * CD^{2}}{8} + \frac{\pi * CD^{2}}{8} = \frac{\pi * AC^{2}}{8} - \frac{\pi * AD^{2}}{8} + \frac{\pi * BC^{2}}{8} - \frac{\pi * BD^{2}}{8} $ Poniewa偶 $\frac{\pi * CD^{2}}{8} = \frac{\pi * AC^{2}}{8} - \frac{\pi * AD^{2}}{8} $ oraz: $\frac{\pi * CD^{2}}{8} = \frac{\pi * BC^{2}}{8} - \frac{\pi * BD^{2}}{8} $ zatem nasza teza jest prawdziwa. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj