Geometria, zadanie nr 5218
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| smykl postów: 1 |  2015-04-04 12:56:40 |
| magda95 postów: 120 | 2015-04-04 13:24:14 Niech P(ABC) - pole trójkąta ABC, a P(AB) - pole koła o średnicy AB, itd. analogicznie. Pole księżyców $= P(AD)/2+P(BD)/2+P(CD)-P(AC)/2+P(ACD)-P(BC)/2+P(BCD) $ Pole trójkąta $ = P(ABC) = P(ACD)+P(BCD) $ TEZA: Pole trójkąta = Pole księżyców $\iff$ $P(AD)/2+P(BD)/2+P(CD)-P(AC)/2+P(ACD)-P(BC)/2+P(BCD) = P(ACD)+P(BCD) $ $\iff$ $P(AD)/2+P(BD)/2+P(CD)-P(AC)/2-P(BC)/2 = 0 $ $\iff$ $P(AD)/2+P(BD)/2+P(CD) = P(AC)/2+P(BC)/2 $ $P(AD)/2 = \pi * (\frac{AD}{2})^{2} /2 = \frac{\pi * AD^{2}}{8} $ Analogicznie rozpisując pozostałe pola uzyskujemy TEZA: $\frac{\pi * AD^{2}}{8} + \frac{\pi * BD^{2}}{8} + \frac{\pi * CD^{2}}{4} = \frac{\pi * AC^{2}}{8} + \frac{\pi * BC^{2}}{8} $ Z twierdzenia Pitagorasa mamy: $ CD^{2} = AC^{2} - AD^{2} $ $ CD^{2} = BC^{2} - BD^{2} $ Przeształcając nieco nasze równanie uzyskujemy: TEZA: $\frac{\pi * CD^{2}}{4} = \frac{\pi * AC^{2}}{8} - \frac{\pi * AD^{2}}{8} + \frac{\pi * BC^{2}}{8} - \frac{\pi * BD^{2}}{8} $ Czyli: TEZA: $\frac{\pi * CD^{2}}{8} + \frac{\pi * CD^{2}}{8} = \frac{\pi * AC^{2}}{8} - \frac{\pi * AD^{2}}{8} + \frac{\pi * BC^{2}}{8} - \frac{\pi * BD^{2}}{8} $ Ponieważ $\frac{\pi * CD^{2}}{8} = \frac{\pi * AC^{2}}{8} - \frac{\pi * AD^{2}}{8} $ oraz: $\frac{\pi * CD^{2}}{8} = \frac{\pi * BC^{2}}{8} - \frac{\pi * BD^{2}}{8} $ zatem nasza teza jest prawdziwa. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj