logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Geometria, zadanie nr 5223

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ttomiczek
postów: 208
2015-04-07 14:48:46

Dany jest równoległobok ABCD. Punkt E należy do boku AB, a punkt F do boku AD. Prosta EF przecina prostą CB w punkcie P, a prostą CD w punkcie Q. Wykazać ,że pole trójkąta CEF jest równe polu trójkąta APQ.


panrafal
postów: 173
2015-04-08 02:54:53

Ciekawe zadanie, bo nie wiadomo jak je w ogóle ruszyć. Daj znać jeśli poznałbyś rozwiązanie. Ja też będę myślał nad nim.


natascha
postów: 1
2015-04-09 15:20:29

Punkt G jest punktem przecięcia AC i EP. P(ABC) - pole trójkąta ABC

1. P(AGQ)=P(GCF)=S1 bo:

P(AFQ)=P(AFC)- mają wspólna podstawę AF i tę samą wysokość h (wysokość równoległoboku)
P(AFQ)=P(AGF)+P(AGQ), P(AFC)=P(AGF)+P(GCF). Po porównaniu otrzymujemy tezę 1.

2. P(EGC)=P(AGP)=S2

P(EAC)=P(EAP)- wspólna podstawa EA i wysokość H(druga wysokość równoległoboku)
P(EAC)=P(EAG)+P(EGC), P(EAP)=P(EAG)+P(AGP). Po porównaniu otrzymujemy tezę 2.

P(GCF)=P(AGQ)=S1+S2



agus
postów: 2314
2015-04-09 19:15:18

Trójkąty AEF, FDQ i EPB są podobne (cecha kkk).

Zatem niech

AE=x, EF=y, FA=z oraz wysokość poprowadzona do boku x to h
QD=xl, QF=yl, FD=zl oraz wysokość poprowadzona do boku xl to hl
EB=xk, EP=yk, PB=zk oraz wysokość poprowadzona do boku xk to hk
(l,k- skale podobieństwa)

Pole trójkąta APQ (składa się z pól trójkątów AEF, AEP i AFQ)

$\frac{1}{2}xh+\frac{1}{2}xhk+\frac{1}{2}yl\cdot\frac{xh}{y}=\frac{1}{2}xh+\frac{1}{2}xhk+\frac{1}{2}xlh$

($\frac{xh}{y}$-wysokość poprowadzona do boku yl w trójkącie AFQ jest równa wysokości poprowadzonej do boku y w trójkącie AEF)

Pole trójkąta ECF (różnica pola równoległoboku ABCD oraz sumy pól trójkątów AEF, EBC, FCD)

(x+xk)(h+hl)-$(\frac{1}{2}xh+\frac{1}{2}xk(h+hl)+\frac{1}{2}(x+xk)hl)$
po uporządkowaniu
$\frac{1}{2}xh+\frac{1}{2}xhk+\frac{1}{2}xhl$

co pokazuje równość pól

P.S.
Rozwiązanie jest chyba trochę toporne, ale poprawne. :)
Z rysunkiem wygląda to ok.


ttomiczek
postów: 208
2015-04-13 08:39:24

dzięks, myślałem, że można bez tych podobieństw:)


agus
postów: 2314
2015-04-13 21:40:45

Może warto przeanalizować rozwiązanie nataschy.
Chyba jestem utajnionym dyslektykiem, bo odrzuciła mnie forma zapisu, a być może treść jest ok.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 22 drukuj