logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Wyrażenia algebraiczne, zadanie nr 5283

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

aress_poland
postów: 66
2015-04-16 20:48:30

Wykaż, że jeśli a i b są liczbami rzeczywistymi oraz a+b=1, to spełniona jest nierówność $a^{4}+b^{4}\ge \frac{1}{8}$.

Rozwiązałem to zadanie wykorzystując pochodne. Wykazałem, że najmnijsza wartość funkcji $f(a)=a^{4}+(1-a)^{4}=\frac{1}{8}$. Moje pytanie brzmi: W jaki sposób rozwiązać powyższe zadanie nie wykorzystując pochodnych?


rockstein
postów: 33
2015-06-27 18:38:02

Z: a+b=1; T: a^4 + b^4 => 1/8
Dowodzoną nierówność mnożę przez 8, zmienną b zastępuję przez 1-a, wszystkie wyrazy grupuję po lewej stronie:
8*a^4 + 8*(1-a)^4 - 1 => 0
Po wykonaniu potęgowania i redukcji wyrazów podobnych otrzymuję:
16*a^4 - 32*a^3 + 48*a^2 - 32*a + 7 => 0
16*a^2*(a^2-2*a+1) + 32*a*(a-1) + 16 - 9 => 0
16*{a^2*(a-1)^2 + 2*a*(a-1) + 1} - 9 => 0
4^2*{a*(a-1) + 1}^2 - 3^2 =>0, teraz zastosuję wzór na różnicę kwadratów:
{4*a*(a-1) + 4 - 3}*{4*a*(a-1) + 4 + 3} => 0
Pierwszy nawias to nieujemne wyrażenie: (2*a - 1)^2, zaś drugi nawas odpowiednio:
{(2*a - 1)^2 + 6},zawsze dodatni.
Zatem wyrażenie przyjmuje ostatecznie postać:
{(2*a - 1)^2}*{(2*a - 1)^2 + 6} => 0
c.b.d.o.
Równość zachodzi, gdy pierwszy nawias przyjmuje wartość zero, co ma miejsce dla 2*a - 1 = 0, a zatem a = 1/2 i wówczas odpowiednio b = 1/2.



irena
postów: 2636
2015-06-28 10:12:35

A można tak:

Wykorzystując własność, że dla każdej pary liczb a i b zachodzi:
$a^2+b^2\ge2ab$

mamy:
$(a+b)^2=1$
$a^2+b^2+2ab=1$
czyli
$a^2+b^2\ge\frac{1}{2}$
i dalej:
$(a^2+b^2)^2\ge\frac{1}{4}$
$a^4+2a^2b^2+b^4\ge\frac{1}{4}$
a ponieważ
$a^4+b^4\ge2a^2b^2$
mamy;
$a^4+b^4\ge\frac{1}{8}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj