Wyra偶enia algebraiczne, zadanie nr 5283
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
aress_poland post贸w: 66 |  2015-04-16 20:48:30Wyka偶, 偶e je艣li a i b s膮 liczbami rzeczywistymi oraz a+b=1, to spe艂niona jest nier贸wno艣膰 $a^{4}+b^{4}\ge \frac{1}{8}$. Rozwi膮za艂em to zadanie wykorzystuj膮c pochodne. Wykaza艂em, 偶e najmnijsza warto艣膰 funkcji $f(a)=a^{4}+(1-a)^{4}=\frac{1}{8}$. Moje pytanie brzmi: W jaki spos贸b rozwi膮za膰 powy偶sze zadanie nie wykorzystuj膮c pochodnych? |
rockstein post贸w: 33 | 2015-06-27 18:38:02 Z: a+b=1; T: a^4 + b^4 => 1/8 Dowodzon膮 nier贸wno艣膰 mno偶臋 przez 8, zmienn膮 b zast臋puj臋 przez 1-a, wszystkie wyrazy grupuj臋 po lewej stronie: 8*a^4 + 8*(1-a)^4 - 1 => 0 Po wykonaniu pot臋gowania i redukcji wyraz贸w podobnych otrzymuj臋: 16*a^4 - 32*a^3 + 48*a^2 - 32*a + 7 => 0 16*a^2*(a^2-2*a+1) + 32*a*(a-1) + 16 - 9 => 0 16*{a^2*(a-1)^2 + 2*a*(a-1) + 1} - 9 => 0 4^2*{a*(a-1) + 1}^2 - 3^2 =>0, teraz zastosuj臋 wz贸r na r贸偶nic臋 kwadrat贸w: {4*a*(a-1) + 4 - 3}*{4*a*(a-1) + 4 + 3} => 0 Pierwszy nawias to nieujemne wyra偶enie: (2*a - 1)^2, za艣 drugi nawas odpowiednio: {(2*a - 1)^2 + 6},zawsze dodatni. Zatem wyra偶enie przyjmuje ostatecznie posta膰: {(2*a - 1)^2}*{(2*a - 1)^2 + 6} => 0 c.b.d.o. R贸wno艣膰 zachodzi, gdy pierwszy nawias przyjmuje warto艣膰 zero, co ma miejsce dla 2*a - 1 = 0, a zatem a = 1/2 i w贸wczas odpowiednio b = 1/2. |
irena post贸w: 2636 | 2015-06-28 10:12:35 A mo偶na tak: Wykorzystuj膮c w艂asno艣膰, 偶e dla ka偶dej pary liczb a i b zachodzi: $a^2+b^2\ge2ab$ mamy: $(a+b)^2=1$ $a^2+b^2+2ab=1$ czyli $a^2+b^2\ge\frac{1}{2}$ i dalej: $(a^2+b^2)^2\ge\frac{1}{4}$ $a^4+2a^2b^2+b^4\ge\frac{1}{4}$ a poniewa偶 $a^4+b^4\ge2a^2b^2$ mamy; $a^4+b^4\ge\frac{1}{8}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj