Trygonometria, zadanie nr 5378
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| kamilac postów: 2 |  2015-06-17 15:45:33W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości: |BC | = 8, |CA | = \sqrt{17}. Na boku AB wybrano punkt D tak, że |AD | = 2 . Oblicz sinus kąta DCA. |
| Rafał postów: 407 | 2015-06-17 16:59:32 $|AB|^{2}=|BC|^{2}+|AC|^{2}$ $|AB|^{2}=64+17=81$ $|AB|=9$ $|BD|=9-2=7$ Z twierdzenia cosinusów: $|DC|^{2}=|AD|^{2}+|AC|^{2}-2|AD|*|AC|*cos\alpha$ $|DC|^{2}=4+17-2*2*\sqrt{17}*\frac{\sqrt{17}}{9}=21-\frac{68}{9}$ $|DC|^{2}=\frac{121}{9}$ $|DC|=\frac{11}{3}$ Z twierdzenia sinusów: $\frac{|AD|}{sin\beta}=\frac{|DC|}{sin\alpha}$ $\frac{2}{sin\beta}=\frac{\frac{11}{3}}{\frac{8}{9}}$ $\frac{11}{3}sin\beta=\frac{16}{9}$ $sin\beta=\frac{16}{9}*\frac{3}{11}=\frac{16}{33}$ |
| janusz78 postów: 820 | 2015-06-17 17:28:38 Jeśli wykonamy staranny rysunek to: Z twierdzenia Pitagorasa $|AB| =\sqrt{8^2 + (\sqrt{17})^2}= \sqrt{81}=9.$ $|BD| = 9-2 = 7.$ $\sin(A)= \frac{8}{9}.$ $\sin(B)= \frac{\sqrt{17}}{9}.$ Z twierdzenia sinusów dla trójkąta ACD $\frac{2}{\sin(\alpha)}= \frac{|CD|}{\sin(A)}.$ $|CD|= \frac{16}{9\sin(\alpha)}.$ (1) Z twierdzenia sinusów dla trójkąta BCD $\frac{|CD|}{\sin(\beta)}= \frac{7}{\sin(90^{o}-\alpha)}= \frac{7}{\cos(\alpha)}.$ $|CD|= \frac{7\sqrt{17}}{9\cos(\alpha)}.$ (2) Z równań (1),(2): $\frac{16}{9\sin(\alpha)}= \frac{7\sqrt{17}}{9\cos(\alpha}$ $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}= \frac{16}{7\sqrt{17}}.$ $ \frac{\sin(\alpha)}{\sqrt{1-\sin^2(\alpha)}}= \frac{16}{7\sqrt{17}}.$ $\sin(\alpha)= \frac{16}{33}.$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj