Kombinatoryka, zadanie nr 5402

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ostro45 postów: 3	2015-09-09 16:22:07 Witam, Chciałbym prosić o matematyczne przedstawienie rozwiązania tego zadania. Mam z nim wiele problemów. Pojawia się ono dosyć często, chodź różne w treści. Na ile sposobów można rozdzielić 6 różnych zabawek dwójce dzieci tak aby każde miało po równo. Kolejność zabawek ma znaczenie.

tumor postów: 8070	2015-09-09 16:29:01 Kolejność? Jeśli dzieci to Ala i Bartek, to dziecku A bez uwzględniania kolejności wybieramy zabawki na ${6 \choose 3}$ sposobów. Pozostałe zabawki dostaje dziecko B. Przypuśćmy jednak, że z jakiegoś powodu naprawdę interesuje nas kolejność, w jakiej wręczamy zabawki, czyli jeśli Ala dostanie - figurkę Aragorna - rower - pakiet programów matematycznych to będzie to inne rozwiązanie niż jeśli najpierw dostanie rower, potem programy a Aragorna na końcu. Wówczas możemy popatrzeć na to tak: mamy ciąg sześciu elementów, gdzie pierwsze trzy oznaczają kolejne trzy prezenty dla Ali, następne trzy kolejne prezenty Bartka. Sposobów jest $6!$ (inaczej: ${6 \choose 3}$ zabawki Ali ustawiamy w ciąg na 3! sposobów, zabawki Bartka też na 3! sposobów, mamy $ {6 \choose 3}3!3!=6!$)

ostro45 postów: 3	2015-09-10 11:24:42 Dzięki serdeczne za rozpisanie problemu. Jako że dopiero zaczynam z tym działem, mógłbym prosić jeszcze o potwierdzenie że dobrze rozumiem zapis ${6 \choose 3}$ Tzn jak n=6 (zbiór wszystkich elementów czyt.zabawek) k=3 ilość ciągów trzyelementowych-zabawkowych. Liczby w nawiasie wyrażają dwumian Newtona i konieczność zastosowania w tym przypadku kombinacji bez powtórzeń? Odnosząc się do: "Jeśli dzieci to Ala i Bartek, to dziecku A bez uwzględniania kolejności wybieramy zabawki na ${6 \choose 3}$ sposobów. Pozostałe zabawki dostaje dziecko B". Jeżeli dla n=6, k=3 zastosuję kombinację bez powtórzeń otrzymam 20 20 będzie liczbą wyrażającą ilość możliwości rozdania 3 z 6 zabawek dziecku A więc dziecko B dostanie też 20 zabawek. Więc istnieje 20 sposobów na rozdanie w 20 seriach zabawek kompletując za każdym razem unikalny zestaw dla każdej ze stron?

tumor postów: 8070	2015-09-10 12:07:40 6 zabawek wszystkich. Wybieramy zabawki dla Ali i jeśli uwzględniamy, że zabawki są odróżnialne (czyli nie 6 identycznych, ale 6 różnych), to wybieramy na ${6 \choose 3}=\frac{6!}{3!3!}$ sposobów. Tak, to jest symbol Newtona. Ilość k-elementowych kombinacji bez powtórzeń to inaczej ilość k-elementowych podzbiorów. Każdy podzbiór k-elementowy oznacza jedno rozwiązanie w tym sensie, że te k zabawek dostaje Ala, a pozostałe Bartek. Zatem dwa różne podzbiory dają dwa różne rozwiązania. ----- Piszesz, że dziecko B dostanie 20 zabawek. Nie. Dostanie 3 zabawki. Gdy masz 6 zabawek i wybierzesz na jakiś sposób 3 zabawki dla Ali, to Bartkowi zostaną 3 zabawki, które już musi dostać. Zatem jeśli Ali już prezenty wybraliśmy (na 20 sposobów mogliśmy to zrobić), to Bartkowi za każdym z tych sposobów po prostu dajemy to, co zostało. ------- Żeby sobie wyobrazić problem, dla tak niewielkiej liczby możesz go rozpisać. Zabawki to abcdef, dzieci A i B. Jeśli A dostanie abc to B dostanie def A dostanie abd to B cef A dostanie abe to B def abf - cde acd - ace acf i tak dalej. Wszystkich możliwości wychodzi 20. W każdej możliwości dzieci dzielą się zabawkami po równo, czyli po 3. Wszystkie zabawki są rozdzielane.

ostro45 postów: 3	2015-09-13 21:06:00 Jeszcze raz bardzo dziękuję :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj