logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 5417

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

gommex
postów: 14		 2015-09-19 18:31:32

Pomyliły mi się działy - oczywiście chodziło o "Granicę funkcji" a nie liczby rzeczywiste... ech można przenieść ?
Zad 1:
Obl. granice jednostronne funkcji f w punkcie x0 i na tej podstawie spr czy istnieje $\lim_{x \to 0}$ , a następnie naszkicuj wykres funkcji f jeśli:
a)
$f(x)=\frac{4-x^{2}}{|2+x|}$ , x0=-2
b)
$f(x)=\frac{x^{3}-2x}{|x|}$, x0=0
c)
$f(x)=\frac{|x-3|^{3}}{x-3}+2$, x0=3

Zad 2:
Zbadaj czy istnieje granica funkcji f w punkcie x0. Jeśli tak to obl ją:
a)
$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^3+5 ...jesli... x>-3 \\ -x^2+4x-1 ...jesli... x<-3 \end{matrix}\right. $ x0=-3
d)
$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{3x^2 - 16x+21}{3x-9}...jesli...x<3 \\ \frac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}...jesli...x>3 \end{matrix}\right. x0=3$

Proszę o pomoc na konkretnym przykładzie co jak i skąd bym mógł dojść jak wyliczyć te zadanka :) Dzięki z góry za okazaną pomoc

Wiadomość była modyfikowana 2015-09-19 20:37:00 przez gommex

tumor
postów: 8070		 2015-09-19 22:21:10

Działy nie są szczególnie istotne.

Granica jednostronna polega na tym, że tak jak ostatnio liczyłeś z def. Heinego, tak samo liczysz teraz, tylko jeśli masz $x_0$, to granicę lewostronną liczysz dla $x<x_0$ i $x\to x_0$, natomiast prawostronną dla $x>x_0$ i $x\to x_0$

a)
Dla przykładu jeśli $x<-2$, to
$|2+x|=-2-x$, wówczas

$\lim_{x \to -2-}f(x)=\lim_{x \to -2-}\frac{4-x^2}{-2-x}=
\lim_{x \to -2-}{-2+x}=-4$

jeśli $x>-2$, to
$|2+x|=2+x$, wówczas

$\lim_{x \to -2+}f(x)=\lim_{x \to -2+}\frac{4-x^2}{2+x}=
\lim_{x \to -2+}{2-x}=4$

Granice jednostronne wyszły różne, zatem funkcja nie ma granicy w $x_0$.

---

Może się zdarzyć że któraś z granic jednostronnych w ogóle nie istnieje. Wówczas także funkcja nie ma granicy w punkcie.

Dopiero przypadek, że granice jednostronne obie istnieją i są sobie równe mówi, że funkcja ma w tym punkcie granicę.


b) i c) zostawiam, podobne

-----

Zadanie drugie nie polega na niczym więcej. Liczymy granice jednostronne. Funkcja w różnych przedziałach dana jest różnymi wzorami, dlatego dla $x<x_0$ (granica lewostronna) użyjemy jednego ze wzorów, dla $x>x_0$ drugiego.


gommex
postów: 14		 2015-09-19 22:47:54

Z przykładu a), który podałeś dla x <-2
|2+x| - dałeś znak - przed wyrażeniem ze względu na wartość bezwzględną w zadaniu czy przez lewostronną granicę mniejszą x<-2 ?

Czy jakby był przykład bez wartości bezwzględnej, choćby f(x)= $x^3+5$ to dla lewostronnej granicy (tej z minusem) wartość też będzie $-x^3-5$?


tumor
postów: 8070		 2015-09-19 23:12:26

skoro $x<-2$
to $2+x<0$
czyli $|2+x|=-(2+x)$ bo tak działa wartość bezwzględna.

To nie jest magia, tylko matematyka. Czemu ma się pojawić jakiś minus w tym przykładzie, który podajesz, $x^3+5$?


Ale pomyśl o wyłączeniu przed pierwiastek $x$ w przykładzie:
$\sqrt{x^2+x^3}$
gdy $x_0=0$.
(To znaczy: wyobraź sobie, że w jakiejś granicy wygodnie jest liczyć właśnie przez wyłączenie x przed taki pierwiastek).

Wtedy dla $x>0$ jest
$\sqrt{x^2+x^3}=x\sqrt{1+x}$, ale dla $x<0$ jest
$\sqrt{x^2+x^3}=-x\sqrt{1+x}$.




janusz78
postów: 820		 2015-09-19 23:51:36

Można też i tak (może mniej obrazowo).

Zad.1

a)
$ lim_{x\to 2^{-}}f(x)= \lim_{x\to 2^{-}}\frac{4-x^2}{|2+x|} = \lim_{x\to -2^{-}}\frac{(2-x)(2+x)}{-(2+x)}= \lim_{x\to -2^{-}}\left[-(2-x)\right]= -4.$

$ lim_{x\to -2^{+}}f(x)= \lim_{x\to -2^{+}}\frac{4-x^2}{|2+x|} = \lim_{x\to -2^{+}}\frac{(2-x)(2+x)}{(2+x)}= \lim_{x\to -2^{+}} (2-x)= 4.$

Nie istnieje granica funkcji f w punkcie $ x_{0}=-2.$

b), c) -podobnie

Zad.2

Na przykład d)

$ lim_{x\to 3^{-}}\frac{3x^2-16x +21}{3x-9}= \lim_{x\to 3^{-}}\frac{(3x-7)(x-3)}{3(x-3)}= \lim_{x\to 3^{-}}\frac{3x-7}{3}=\frac{2}{3}.$

$\lim_{x\to 3^{+}}\frac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}= \lim_{x\to 3^{+}}\frac{x(\sqrt{1+\frac{6}{x^2}}-\frac{3}{x})}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-\frac{2}{x})} =\lim_{x\to 3^{+}}\frac{\sqrt{1+\frac{6}{x^2}}-\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-\frac{2}{x}}= \frac{\sqrt{1+\frac{2}{3}}-1}{\sqrt{\frac{10}{9}}-\frac{2}{3}}$

$ = \frac{\sqrt{\frac{5}{3}}-\frac{3}{3}}{\frac{\sqrt{10}-2}{3}}= \frac{3(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}-\frac{3}{3})}{\sqrt{10}-2}= \frac{\sqrt{15}-3}{\sqrt{10}-2}.$



Nie istnieje granica funkcji w punkcie $x_{0}=3.$

a) - podobnie

Rozwiążmy jeszcze jeden przykład, stosując definicję Heine granicy funkcji w punkcie.

Zad. 1 c)

$ f(x)= \frac{|x-3|^{2}}{x-3}+2.\ \ x_{0}=3$

Niech ciąg $ (x_{n})\rightarrow 3, \forall_{n\in N} (x_{n}<3).$

Wtedy

$\lim_{n\to\infty}f(x_{n})= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{|x_{n}-3|^2}{x_{n}-3}+2 \right) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{(-(x_{n}-3))^2}{(x_{n}-3)}+ 2 \right) = \lim_{n\to \infty}((x_{n}-3)+2)= 3-3+2=2.$

Niech ciąg $ (x_{n})\rightarrow 3, \forall_{n\in N} (x_{n}>3).$

Wtedy

$ \lim_{n\to \infty}f(x_{n})= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{|x_{n}-3|^2}{x_{n}-3}+2\right) =\lim_{n \to \infty} \left(\frac{((x_{n}-3))^2}{(x_{n}-3)}+ 2\right) = \lim_{n\to \infty}((x_{n}-3)+2)= 3- 3 + 2=2.$

Istnieje granica funkcji w punkcie $x_{0}=3.$


Wiadomość była modyfikowana 2015-09-20 19:19:05 przez janusz78

gommex
postów: 14		 2015-09-20 15:49:55

Ok, trochę już liczę i tu pytanie - czy mogę wstawić skan/zdjęcie z obliczeniami ? Bo dużo mi wszystko przepisywać a chciałbym mieć sprawdzone czy dobrze robię

A i pytanko @janusz
Zad 2 d)
Liczyłem i potem spojrzałem na Twoje obliczenia i mam tak samo, ale jednak nie rozumiem jak doszedłeś do końcowego wyniku:
Konkretnie chodzi mi o końcówkę
$\frac{\sqrt{1+\frac{2}{3}}-1}{\sqrt{\frac{10}{9}}-\frac{2}{3}}
Jak tutaj w wyniku (licznik) powstał \sqrt{15} $?

Wiadomość była modyfikowana 2015-09-20 16:23:11 przez gommex

janusz78
postów: 820		 2015-09-20 19:23:34

Rozpisałem bardziej szczegółowo. Skany zdjęcia nie są mile widziane. Potrenuj TeX'a, to się opłaca.
Pozdrawiam


gommex
postów: 14		 2015-09-21 13:10:20

To ogólnie wszystko co miałem do wyliczenia (inne oznaczenia podpunktów):

zad 1
b)
$ f(x) =\frac{4-x^{2}}{|2+x|}$ x0=-2
Wynik:
$\lim_{x \to 2-} = -4$
$\lim_{x \to 2+} = 4$
Brak granicy

c)
f(x)= $ \frac{x^3-2x}{|x|}$ x0=0
Wynik:
$\lim_{x \to 0-} = 2$
$\lim_{x \to 0+} = -2$
Brak granicy

d)
f(x)= $ \frac{|x-3|^3}{(x-3)^2} +2 $ x0=3
$\lim_{x \to 3-} = 2$
$\lim_{x \to 3+} = 2$
Granica istnieje w pkt x0=2 (czy tutaj trzeba coś jeszcze obl, jeżeli granica istnieje? )

Zad 2:
c)
f(x)=$\left\{\begin{matrix} x^3+5.....x>-3 \\ -x^2+4x-1.....x<-3 \end{matrix}\right.$
$\lim_{x \to -3-} = -22$
$\lim_{x \to -3+} = -22$
Granica istnieje (to samo - liczyć coś dalej?)

e)
f(x)=$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2-16}{4-x}.....x>4 \\ 3x-4.....x<4 \end{matrix}\right. $x0=4
$\lim_{x \to 4-} = 8$
$\lim_{x \to 4+} = 8$
Gr nie istnieje

f)
f(x)=$\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{2x+9}-3}{x}.....x>0 \\ \frac{2x-3}{4x-9}......x<0 \end{matrix}\right.$ x0=0
$\lim_{x \to 0-} = 1/3$
$\lim_{x \to 0+} = 1/6$
Gr nie istenieje

g)
f(x)=$\left\{\begin{matrix} \frac{3x^2-16x+21}{3x-9}....x<3 \\ \frac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}.....x>3 \end{matrix}\right. $ x0=3
Wynik:
$\lim_{x \to 3-} = 2/3$
$\lim_{x \to 3+} = (\sqrt{15}-3 /\sqrt{10}-2 $

h)
f(x)=$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2+x-2}{2x+6}....x<-4 \\ \frac{x^2+13x+36}{x+4}......x>-4 \end{matrix}\right. $ x0=-4
Wyniki:
$\lim_{x \to 4-} = 5$
$\lim_{x \to 4+} = -5$
Gr nie istenieje

Wykres jeszcze do 1- pokolei do b), c), d):




tumor
postów: 8070		 2015-09-21 13:56:18

Zad.1.
d)
Istnieje granica w $x_0=3$ i jest ona równa 2

Zad.2.
c)
Istnieje granica w $x_0=-3$ i jest ona równa -22

e) jedna wynosi -8

f) gdybyś jeszcze powtórzył obliczenia dla prawostronnej

g) Policzyłbym powtórnie prawostronną. (Druga rzecz, że zapisujemy wyniki uwzględniając kolejność wykonywania działań. Nawiasy zamykamy)

h) na odwrót



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj