logowanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 5417

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

Autor	Zadanie / RozwiÄ zanie
gommex postĂłw: 14	2015-09-19 18:31:32 Pomyliły mi się działy - oczywiście chodziło o \"Granicę funkcji\" a nie liczby rzeczywiste... ech moĹźna przenieść ? Zad 1: Obl. granice jednostronne funkcji f w punkcie x0 i na tej podstawie spr czy istnieje $\lim_{x \to 0}$ , a następnie naszkicuj wykres funkcji f jeśli: a) $f(x)=\frac{4-x^{2}}{|2+x|}$ , x0=-2 b) $f(x)=\frac{x^{3}-2x}{|x|}$, x0=0 c) $f(x)=\frac{|x-3|^{3}}{x-3}+2$, x0=3 Zad 2: Zbadaj czy istnieje granica funkcji f w punkcie x0. Jeśli tak to obl jÄ : a) $f(x)=\left\{\begin{matrix} x^3+5 ...jesli... x>-3 \\ -x^2+4x-1 ...jesli... x<-3 \end{matrix}\right. $ x0=-3 d) $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{3x^2 - 16x+21}{3x-9}...jesli...x<3 \\ \frac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}...jesli...x>3 \end{matrix}\right. x0=3$ Proszę o pomoc na konkretnym przykładzie co jak i skÄ d bym mĂłgł dojść jak wyliczyć te zadanka :) Dzięki z gĂłry za okazanÄ pomoc Wiadomość była modyfikowana 2015-09-19 20:37:00 przez gommex
tumor postĂłw: 8070	2015-09-19 22:21:10 Działy nie sÄ szczegĂłlnie istotne. Granica jednostronna polega na tym, Ĺźe tak jak ostatnio liczyłeś z def. Heinego, tak samo liczysz teraz, tylko jeśli masz $x_0$, to granicę lewostronnÄ liczysz dla $x<x_0$ i $x\to x_0$, natomiast prawostronnÄ dla $x>x_0$ i $x\to x_0$ a) Dla przykładu jeśli $x<-2$, to $|2+x|=-2-x$, wĂłwczas $\lim_{x \to -2-}f(x)=\lim_{x \to -2-}\frac{4-x^2}{-2-x}= \lim_{x \to -2-}{-2+x}=-4$ jeśli $x>-2$, to $|2+x|=2+x$, wĂłwczas $\lim_{x \to -2+}f(x)=\lim_{x \to -2+}\frac{4-x^2}{2+x}= \lim_{x \to -2+}{2-x}=4$ Granice jednostronne wyszły róşne, zatem funkcja nie ma granicy w $x_0$. --- MoĹźe się zdarzyć Ĺźe ktĂłraś z granic jednostronnych w ogĂłle nie istnieje. WĂłwczas takĹźe funkcja nie ma granicy w punkcie. Dopiero przypadek, Ĺźe granice jednostronne obie istniejÄ i sÄ sobie rĂłwne mĂłwi, Ĺźe funkcja ma w tym punkcie granicę. b) i c) zostawiam, podobne ----- Zadanie drugie nie polega na niczym więcej. Liczymy granice jednostronne. Funkcja w róşnych przedziałach dana jest róşnymi wzorami, dlatego dla $x<x_0$ (granica lewostronna) uĹźyjemy jednego ze wzorĂłw, dla $x>x_0$ drugiego.
gommex postĂłw: 14	2015-09-19 22:47:54 Z przykładu a), ktĂłry podałeś dla x <-2 |2+x| - dałeś znak - przed wyraĹźeniem ze względu na wartość bezwzględnÄ w zadaniu czy przez lewostronnÄ granicę mniejszÄ x<-2 ? Czy jakby był przykład bez wartości bezwzględnej, choćby f(x)= $x^3+5$ to dla lewostronnej granicy (tej z minusem) wartość teĹź będzie $-x^3-5$?
tumor postĂłw: 8070	2015-09-19 23:12:26 skoro $x<-2$ to $2+x<0$ czyli $|2+x|=-(2+x)$ bo tak działa wartość bezwzględna. To nie jest magia, tylko matematyka. Czemu ma się pojawić jakiś minus w tym przykładzie, ktĂłry podajesz, $x^3+5$? Ale pomyśl o wyĹ‚Ä czeniu przed pierwiastek $x$ w przykładzie: $\sqrt{x^2+x^3}$ gdy $x_0=0$. (To znaczy: wyobraĹş sobie, Ĺźe w jakiejś granicy wygodnie jest liczyć właśnie przez wyĹ‚Ä czenie x przed taki pierwiastek). Wtedy dla $x>0$ jest $\sqrt{x^2+x^3}=x\sqrt{1+x}$, ale dla $x<0$ jest $\sqrt{x^2+x^3}=-x\sqrt{1+x}$.
janusz78 postĂłw: 820	2015-09-19 23:51:36 MoĹźna teĹź i tak (moĹźe mniej obrazowo). Zad.1 a) $ lim_{x\to 2^{-}}f(x)= \lim_{x\to 2^{-}}\frac{4-x^2}{|2+x|} = \lim_{x\to -2^{-}}\frac{(2-x)(2+x)}{-(2+x)}= \lim_{x\to -2^{-}}\left[-(2-x)\right]= -4.$ $ lim_{x\to -2^{+}}f(x)= \lim_{x\to -2^{+}}\frac{4-x^2}{|2+x|} = \lim_{x\to -2^{+}}\frac{(2-x)(2+x)}{(2+x)}= \lim_{x\to -2^{+}} (2-x)= 4.$ Nie istnieje granica funkcji f w punkcie $ x_{0}=-2.$ b), c) -podobnie Zad.2 Na przykład d) $ lim_{x\to 3^{-}}\frac{3x^2-16x +21}{3x-9}= \lim_{x\to 3^{-}}\frac{(3x-7)(x-3)}{3(x-3)}= \lim_{x\to 3^{-}}\frac{3x-7}{3}=\frac{2}{3}.$ $\lim_{x\to 3^{+}}\frac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}= \lim_{x\to 3^{+}}\frac{x(\sqrt{1+\frac{6}{x^2}}-\frac{3}{x})}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-\frac{2}{x})} =\lim_{x\to 3^{+}}\frac{\sqrt{1+\frac{6}{x^2}}-\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-\frac{2}{x}}= \frac{\sqrt{1+\frac{2}{3}}-1}{\sqrt{\frac{10}{9}}-\frac{2}{3}}$ $ = \frac{\sqrt{\frac{5}{3}}-\frac{3}{3}}{\frac{\sqrt{10}-2}{3}}= \frac{3(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}-\frac{3}{3})}{\sqrt{10}-2}= \frac{\sqrt{15}-3}{\sqrt{10}-2}.$ Nie istnieje granica funkcji w punkcie $x_{0}=3.$ a) - podobnie RozwiÄ Ĺźmy jeszcze jeden przykład, stosujÄ c definicję Heine granicy funkcji w punkcie. Zad. 1 c) $ f(x)= \frac{|x-3|^{2}}{x-3}+2.\ \ x_{0}=3$ Niech ciÄ g $ (x_{n})\rightarrow 3, \forall_{n\in N} (x_{n}<3).$ Wtedy $\lim_{n\to\infty}f(x_{n})= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{|x_{n}-3|^2}{x_{n}-3}+2 \right) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{(-(x_{n}-3))^2}{(x_{n}-3)}+ 2 \right) = \lim_{n\to \infty}((x_{n}-3)+2)= 3-3+2=2.$ Niech ciÄ g $ (x_{n})\rightarrow 3, \forall_{n\in N} (x_{n}>3).$ Wtedy $ \lim_{n\to \infty}f(x_{n})= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{|x_{n}-3|^2}{x_{n}-3}+2\right) =\lim_{n \to \infty} \left(\frac{((x_{n}-3))^2}{(x_{n}-3)}+ 2\right) = \lim_{n\to \infty}((x_{n}-3)+2)= 3- 3 + 2=2.$ Istnieje granica funkcji w punkcie $x_{0}=3.$ Wiadomość była modyfikowana 2015-09-20 19:19:05 przez janusz78
gommex postów: 14	2015-09-20 15:49:55 Ok, trochę już liczę i tu pytanie - czy mogę wstawić skan/zdjęcie z obliczeniami ? Bo dużo mi wszystko przepisywać a chciałbym mieć sprawdzone czy dobrze robię A i pytanko @janusz Zad 2 d) Liczyłem i potem spojrzałem na Twoje obliczenia i mam tak samo, ale jednak nie rozumiem jak doszedłeś do końcowego wyniku: Konkretnie chodzi mi o końcówkę $\frac{\sqrt{1+\frac{2}{3}}-1}{\sqrt{\frac{10}{9}}-\frac{2}{3}} Jak tutaj w wyniku (licznik) powstał \sqrt{15} $? Wiadomość była modyfikowana 2015-09-20 16:23:11 przez gommex
janusz78 postĂłw: 820	2015-09-20 19:23:34 Rozpisałem bardziej szczegółowo. Skany zdjęcia nie sÄ mile widziane. Potrenuj TeX\'a, to się opłaca. Pozdrawiam
gommex postów: 14	2015-09-21 13:10:20 To ogólnie wszystko co miałem do wyliczenia (inne oznaczenia podpunktów): zad 1 b) $ f(x) =\frac{4-x^{2}}{|2+x|}$ x0=-2 Wynik: $\lim_{x \to 2-} = -4$ $\lim_{x \to 2+} = 4$ Brak granicy c) f(x)= $ \frac{x^3-2x}{|x|}$ x0=0 Wynik: $\lim_{x \to 0-} = 2$ $\lim_{x \to 0+} = -2$ Brak granicy d) f(x)= $ \frac{|x-3|^3}{(x-3)^2} +2 $ x0=3 $\lim_{x \to 3-} = 2$ $\lim_{x \to 3+} = 2$ Granica istnieje w pkt x0=2 (czy tutaj trzeba coś jeszcze obl, jeżeli granica istnieje? ) Zad 2: c) f(x)=$\left\{\begin{matrix} x^3+5.....x>-3 \\ -x^2+4x-1.....x<-3 \end{matrix}\right.$ $\lim_{x \to -3-} = -22$ $\lim_{x \to -3+} = -22$ Granica istnieje (to samo - liczyć coś dalej?) e) f(x)=$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2-16}{4-x}.....x>4 \\ 3x-4.....x<4 \end{matrix}\right. $x0=4 $\lim_{x \to 4-} = 8$ $\lim_{x \to 4+} = 8$ Gr nie istnieje f) f(x)=$\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{2x+9}-3}{x}.....x>0 \\ \frac{2x-3}{4x-9}......x<0 \end{matrix}\right.$ x0=0 $\lim_{x \to 0-} = 1/3$ $\lim_{x \to 0+} = 1/6$ Gr nie istenieje g) f(x)=$\left\{\begin{matrix} \frac{3x^2-16x+21}{3x-9}....x<3 \\ \frac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}.....x>3 \end{matrix}\right. $ x0=3 Wynik: $\lim_{x \to 3-} = 2/3$ $\lim_{x \to 3+} = (\sqrt{15}-3 /\sqrt{10}-2 $ h) f(x)=$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2+x-2}{2x+6}....x<-4 \\ \frac{x^2+13x+36}{x+4}......x>-4 \end{matrix}\right. $ x0=-4 Wyniki: $\lim_{x \to 4-} = 5$ $\lim_{x \to 4+} = -5$ Gr nie istenieje Wykres jeszcze do 1- pokolei do b), c), d):
tumor postĂłw: 8070	2015-09-21 13:56:18 Zad.1. d) Istnieje granica w $x_0=3$ i jest ona rĂłwna 2 Zad.2. c) Istnieje granica w $x_0=-3$ i jest ona rĂłwna -22 e) jedna wynosi -8 f) gdybyś jeszcze powtĂłrzył obliczenia dla prawostronnej g) Policzyłbym powtĂłrnie prawostronnÄ . (Druga rzecz, Ĺźe zapisujemy wyniki uwzględniajÄ c kolejność wykonywania działań. Nawiasy zamykamy) h) na odwrĂłt
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj

© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj