logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Trygonometria, zadanie nr 5418

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

gdoyle
postów: 17
2015-09-24 16:37:35

Proszę o pomoc
$cos36-cos72$


tumor
postów: 8070
2015-09-24 17:10:14

Za $cos36^\circ$ i $cos72^\circ$
podstawiamy tabelkowe wartości, odpowiednio:
$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ oraz $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

Jeśli nie wolno nam użyć tabelki, to wyprowadzamy te wielkości przyjemnym rozumowaniem:

Rysujemy trójkąt równoramienny o kątach 36,72,72 i dla łatwości liczenia podstawie 1 i ramieniu x.
Dwusieczna kąta 72 dzieli ramię na odcinki o długości 1 i x-1
Wyliczamy x z proporcji
$\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}$

$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Stąd $cos72^\circ$ gotowy.
Natomiast ten drugi jako cos połowy kąta ze wzoru
$cos2x=2cosx-1$


-----

Do zadania można też podejść bez użycia geometrii, korzystając z tożsamości trygonometrycznych.

Mamy
$cos72=2cos^236-1$
oraz
$cos36=2cos^218-1$
oraz
$cos18=sin72$
i
$sin^272=1-cos^272$

Wstawiając to kolejno otrzymujemy wielomian, może nie piękny, ale akceptowalny, do zrobienia na poziomie liceum.



Wiadomość była modyfikowana 2015-09-24 18:32:45 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj