logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Pierwiastki, potęgi, logarytmy, zadanie nr 5426

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dzordz98
postów: 35
2015-09-29 16:17:20

Bardzo proszę o pomoc. Jutro mam z tego sprawdzian
Wykaż że
\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}=4

Próbowałam to podnosić do sześcianu jednak nie wychodzi mi ten wynik. W odpowiedzi jest napisane, ze to co jest pod pierwiastkiem można też przedstawić jako (2-\sqrt{2})^3 ale nie wiem jak do tego dojść
Z góry dziękuję za pomoc :)


irena
postów: 2636
2015-09-29 18:41:20

Bez tej uwagi można tak (chociaż to jest żmudne):

$a=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$

$b=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}$

Mamy obliczyć
$a+b=x$

Podnieśmy tę sumę do sześcianu:
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

$a^3+b^3=20-14\sqrt{2}+20+14\sqrt{2}=40$

$ab=\sqrt[3]{(20-14\sqrt{2})(20+14\sqrt{2})}=\sqrt[3]{400-392}=\sqrt[3]{8}=2$

I mamy:
$(a+b)^3=40+3\cdot2(a+b)$

czyli:
$x^3=40+6x$

$x^3-6x-40=0$

Mamy pokazać, że x=4, czyli nasz wielomian musi dzielić się przez (x-4) i rzeczywiście, jednym z pierwiastków jest x=4, bo
$4^3-6\cdot4-40=64-24-40=0$

$x^3-4x^2+4x^2-16x+10x-40=0$

$x^2(x-4)+4x(x-4)+10(x-4)=0$

$(x-4)(x^2+4x+10)=0$

$\Delta=16-40<0$

$x-4=0$

$x=4$

Mamy więc, że
$a+b=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}=4$


irena
postów: 2636
2015-09-29 18:43:09

A przy wykorzystaniu uwagi;
$(2-\sqrt{2})^3=8-12\sqrt{2}+12-2\sqrt{2}=20-14\sqrt{2}$
i
$(2+\sqrt{3})^3=20+14\sqrt{2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj