Liczby rzeczywiste, zadanie nr 5448
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
dagmara post贸w: 11 |  2015-10-14 13:02:25Udowodnij, 偶e a jest liczb膮 naturaln膮 $a=\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...}}}}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2015-10-14 13:14:50 Podnosz膮c obie strony do trzeciej pot臋gi mamy $a^3=6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...}}}}$ czyli $a^3=6+a$ czyli $a^3-a-6=0$ Rozwi膮zujemy r贸wnanie wielomianowe. Jednym z jego rozwi膮za艅 jest a=2. Wobec tego wiemy ju偶, jak grupowa膰. $a^2(a-2)+2a(a-2)+3(a-2)=0$ $(a^2+2a+3)(a-2)=0$ $\Delta<0$ czyli $a=2$ jest jedynym rzeczywistym rozwi膮zaniem r贸wnania. Wobec czego wida膰, 偶e $a$ jest liczb膮 naturaln膮. |
dagmara post贸w: 11 | 2015-10-14 13:17:40 Czy mo偶na to rozwi膮za膰 innym sposobem? |
tumor post贸w: 8070 | 2015-10-14 13:38:30 Wszystko mo偶na rozwi膮za膰 innym sposobem, tylko niekoniecznie jest to spos贸b znany. Teoretycznie mo偶na na przyk艂ad pokaza膰, 偶e je艣li $a_1=\sqrt[3]{6}$ oraz $a_{n+1}=\sqrt[3]{6+a_n}$ to granic膮 ci膮gu $a_n$ jest liczba 2. 艁atwo dla przyk艂adu pokaza膰, 偶e ci膮g jest rosn膮cy i ograniczony z g贸ry przez 2. Zapewne nieco trudniej jednak pokaza膰 sam膮 granic臋 w spos贸b sprytny i czytelny. Wiemy, 偶e $\sqrt[3]{6}>2-\frac{1}{2}$ Za艂贸偶my, 偶e $a_n>\frac{1}{2^n}$ dla pewnego n naturalnego. W贸wczas $a_{n+1}=\sqrt[3]{6+a_n}>\sqrt[3]{8-\frac{1}{2^n}}$ Przy tym $8-\frac{1}{2^n}>(2-\frac{1}{2^{n+1}})^3=(2-\frac{1}{2^{n+1}})^3= 8-\frac{3*4}{2*2^{n}}+\frac{3*2}{4*4^n}-\frac{1}{8*8^n}= 8-\frac{1}{2^n}(6-\frac{3}{2*2^n}+\frac{1}{8*(2^n)^2})$ Co wypada uzasadni膰 Podstawmy $\frac{1}{2^n}=x$ Wyra偶enie $6-\frac{3}{2*2^n}+\frac{1}{8*(2^n)^2}$ przyjmie posta膰 $6-\frac{3}{2}x+\frac{1}{8}x^2$ Policzmy, dla jakich x mamy $6-\frac{3}{2}x+\frac{1}{8}x^2>1$ czyli $5-\frac{3}{2}x+\frac{1}{8}x^2>0$ B臋dzie $\Delta=\frac{9}{4}-4*5*\frac{1}{8}=\frac{9-10}{4}<0$ zatem dla $x\in R$ mamy $6-\frac{3}{2}x+\frac{1}{8}x^2>1$ wobec czego $a_{n+1}>\sqrt[3]{8-\frac{1}{2^n}}>2-\frac{1}{2^{n+1}}$ Poza tym, skoro $a_1<2$ to tak偶e $6+a_1<8$ czyli $\sqrt[3]{6+a_1}<2$ Indukcyjnie $a_n<2$ dla $n\in N$. St膮d z twierdzenia o trzech ci膮gach mamy $a_n=2$, przynajmniej o ile si臋 nie pomyli艂em w liczeniu, bo straszne nudy takie obliczenia. Rozwi膮zywanie tego samego zadania na inne sposoby to fajne 膰wiczenie dla m贸zgu. Nie 偶al Ci, 偶e dla mojego? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-10-14 14:15:29 przez tumor |
dagmara post贸w: 11 | 2015-10-14 14:46:41 呕al. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj