Wyrażenia algebraiczne, zadanie nr 5493

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
aididas postów: 279	2015-11-12 10:58:56 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x wartości ujemne przyjmuje wyrażenie: $(x^{2}+3x+2)(3-2x-x^{2})-10$

janusz78 postów: 820	2015-11-13 18:07:31 To nie jest prawda. Jeśli pomnożymy trójmiany kwadratowe, otrzymamy wielomian $ f(x) = -x^4 -5x^3 +7x^2 +5x -4$, który dla $ x\in R $ przyjmuje zarówno wartości dodatnie jak i ujemne.

aididas postów: 279	2015-11-13 20:14:36 Ależ nie, Panie Januszu, źle Pan wyliczył współczynnik przy wyrazie $x^{2}$. Wzór ogólny funkcji wygląda bowiem następująco: $f(x)=-x^{4}-5x^{3}-5x^{2}+5x-4$

janusz78 postów: 820	2015-11-14 18:19:30 Panie Tomaszu W takim razie musimy wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ spełniona jest nierówność wielomianowa $ -x^4 -5x^3 - 5x^2 +5x - 14 < 0.$ Grupując jej jednomiany, otrzymujemy $ -x^3(x+5) - (5x^2 - 5x +14)< 0.$ sumę dwóch wyrażeń przyjmujących wartości ujemne: $ -x^3(x+5)<0 $ i $ -(5x^2 -5x +14)< 0 $ dla każdego $ x\in R.$ co mieliśmy wykazać.

tumor postów: 8070	2015-11-14 20:10:22 A możesz mi opowiedzieć, Janusz, jak liczysz $-x^3(x+5)<0$ że wychodzi dla $x\in R$? Ostatnio dziwnie często wychodzi Ci to, co byś chciał, a nie to, co wynika z matematycznych rozumowań. ----- $(x^2+3x+2)(3-2x-x^2)-10=-[(x^2+3x+2)(x^2+2x-3)+10]= -[(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)+10]$ Iloczyn $(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)$ przyjmuje wartości ujemne tylko dla $x\in (-3,-2)$ lub $x\in (-1,1)$ a) jeśli $x\in (-3,-2)$ to \|x-1\|<4 \|x+1\|<2 \|x+2\|<1 \|x+3\|<1 zatem ich iloczyn ma wartość bezwzględną mniejszą niż 10. b) jeśli $x\in (-1,1)$ to już tak gładko nie oszacujemy iloczynu. ale sobie możemy rozbić. b1) jeśli $x\in (-1,-\frac{1}{2})$ \|x-1\|<2 \|x+1\|<$\frac{1}{2}$ \|x+2\|<$\frac{3}{2}$ \|x+3\|<$\frac{5}{2}$ b2) jeśli $x\in (-\frac{1}{2},0)$ \|x-1\|<$\frac{3}{2}$ \|x+1\|<1 \|x+2\|<2 \|x+3\|<3 b3) jeśli $x\in (0,\frac{1}{4})$ \|x-1\|<1 \|x+1\|<$\frac{5}{4}$ \|x+2\|<$\frac{9}{4}$ \|x+3\|<$\frac{13}{4}$ b4) jeśli $x\in (\frac{1}{4},\frac{1}{2})$ \|x-1\|<$\frac{3}{4}$ \|x+1\|<$\frac{6}{4}$ \|x+2\|<$\frac{10}{4}$ \|x+3\|<$\frac{14}{4}$ b5) jeśli $x\in (\frac{1}{2},\frac{3}{4})$ \|x-1\|<$\frac{2}{4}$ \|x+1\|<$\frac{7}{4}$ \|x+2\|<$\frac{11}{4}$ \|x+3\|<$\frac{15}{4}$ b6) jeśli $x\in (\frac{3}{4},1)$ \|x-1\|<$\frac{1}{4}$ \|x+1\|<2 \|x+2\|<3 \|x+3\|<4 Widać ogólną linię tego naprawdę żmudnego pisania? Można było liczyć maksima funkcji z pochodnych, no ale nie wiem czy w liceum taka metoda jest osiągalna. Można było przedstawić wielomian jako sumę prostszych wielomianów, o których da się powiedzieć, że przyjmują wartości ujemne. To próbował zrobić Janusz, tylko zrobił błędnie. Ta rozpiska wyżej pokazuje, że jeśli rozpatrzymy przedziałami, jaka jest wartość wielomianu, zawsze wychodzi ujemna. Liczę tylko wartości bezwzględne, gdyby iloczyn wartości bezwzględnych był większy lub równy 10, to sam iloczyn mógłby być mniejszy lub równy -10, po dodaniu 10 mógłby być mniejszy lub równy 0, a z minusem przed nawiasem: większy lub równy 0. Oczywiście mogłem się gdzieś pomylić. Jeśli wielomian rzeczywiście przyjmuje tylko wartości ujemne, to rozbicie dziedziny na pewną (skończoną) ilość mniejszych przedziałów pozwala szacować tak jak powyżej. Skoro wartości bezwzględne mają iloczyn mniejszy niż 10 w każdym przypadku, to iloczyn samych nawiasów jest większy niż -10, po dodaniu 10 jest dodatni, a z minusem przed nawiasem: ujemny. Nie chciało mi się zmieniać znaków nierówności na $\le$, ale oczywiście końce przedziałów też mają być włączone. Gdzie wygodnie. Wiadomość była modyfikowana 2015-11-14 21:07:28 przez tumor

aididas postów: 279	2015-11-15 00:09:53 I chyba faktycznie nie będzie prostszego uzasadnienia ujemności tego wyrażenia. No pozostaje ta pochodna ale zależało mi na jak najbardziej elementarnym rozwiązaniu. Swoją drogą, wszystkie podstawowe rzeczy z analizy matematycznej są obecnie w nowym programie nauczania dla liceum. Osoba przystępująca teraz do matury powinna coś wiedzieć na temat pochodnych, ekstremach (a z pewnością ta osoba, która rozszerza matematykę). Ja osobiście jeszcze nic nie kojarzę w tych sprawach, ale w przeciągu miesiąca dzięki lekcjom w szkole powinno się to zmienić.

janusz78 postów: 820	2015-11-15 15:33:49 Jeśli sprowadzimy trójmiany występujące w wyrażeniu do postaci kanonicznej $x^2 +3x +2 = (x+1.5)^2- 0,25$ $ -x^2 - 2x + 3 = -(x+1)^2 + 4 $ i podstawimy do wyrażenia, to otrzymamy nierówność $\left[(x+1.5)^2 -0.25\right]\left[(x+1)^2-4\right]>-10.$ Nierówność ta jak widać jest spełniona dla każdego rzeczywistego $ x $ Bo najmniejszą wartością iloczynu trójmianów jest liczba $ -0,25\cdot (-4) = 1 > -10,$ zaś każda inna jego wartość jest większa od 1, tym bardziej większa od liczby $ -10.$

tumor postów: 8070	2015-11-15 15:55:52 No no, trzeci post i trzeci błąd. To prawie imponujące. Otóż o ile nierówność $[(x+1,5)^2-0,25][(x+1)^2-4]>-10$ jest prawdziwa, o tyle nie uzasadnia tego przeraźliwie głupie wnioskowanie, że najmniejszą wartością iloczynu trójmianów jest liczba $-0,25\cdot(-4)=1>-10$ ponieważ iloczyn tych dwóch trójmianów przyjmuje też wartości ujemne, choćby dla $x=-0,5$ albo dla $x=0,9$. :) Samo zapisanie w postaci kanonicznej może ułatwić szacowanie, natomiast nie szacujesz poprawnie, Janusz. Wiadomość była modyfikowana 2015-11-15 20:49:44 przez tumor

kebab postów: 106	2015-12-30 21:01:19 Chyba o to chodziło: $-x^4-5x^3-5x^2+5x-4= - \left (x^2+\frac{5}{2}x-1 \right )^2 -\frac{3}{4}x^2-3 < 0$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj