Wyra偶enia algebraiczne, zadanie nr 5493
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
aididas post贸w: 279 |  2015-11-12 10:58:56Wyka偶, 偶e dla ka偶dej liczby rzeczywistej x warto艣ci ujemne przyjmuje wyra偶enie: $(x^{2}+3x+2)(3-2x-x^{2})-10$ |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-11-13 18:07:31 To nie jest prawda. Je艣li pomno偶ymy tr贸jmiany kwadratowe, otrzymamy wielomian $ f(x) = -x^4 -5x^3 +7x^2 +5x -4$, kt贸ry dla $ x\in R $ przyjmuje zar贸wno warto艣ci dodatnie jak i ujemne. |
aididas post贸w: 279 | 2015-11-13 20:14:36 Ale偶 nie, Panie Januszu, 藕le Pan wyliczy艂 wsp贸艂czynnik przy wyrazie $x^{2}$. Wz贸r og贸lny funkcji wygl膮da bowiem nast臋puj膮co: $f(x)=-x^{4}-5x^{3}-5x^{2}+5x-4$ |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-11-14 18:19:30 Panie Tomaszu W takim razie musimy wykaza膰, 偶e dla ka偶dej liczby rzeczywistej $ x $ spe艂niona jest nier贸wno艣膰 wielomianowa $ -x^4 -5x^3 - 5x^2 +5x - 14 < 0.$ Grupuj膮c jej jednomiany, otrzymujemy $ -x^3(x+5) - (5x^2 - 5x +14)< 0.$ sum臋 dw贸ch wyra偶e艅 przyjmuj膮cych warto艣ci ujemne: $ -x^3(x+5)<0 $ i $ -(5x^2 -5x +14)< 0 $ dla ka偶dego $ x\in R.$ co mieli艣my wykaza膰. |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-14 20:10:22 A mo偶esz mi opowiedzie膰, Janusz, jak liczysz $-x^3(x+5)<0$ 偶e wychodzi dla $x\in R$? Ostatnio dziwnie cz臋sto wychodzi Ci to, co by艣 chcia艂, a nie to, co wynika z matematycznych rozumowa艅. ----- $(x^2+3x+2)(3-2x-x^2)-10=-[(x^2+3x+2)(x^2+2x-3)+10]= -[(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)+10]$ Iloczyn $(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)$ przyjmuje warto艣ci ujemne tylko dla $x\in (-3,-2)$ lub $x\in (-1,1)$ a) je艣li $x\in (-3,-2)$ to |x-1|<4 |x+1|<2 |x+2|<1 |x+3|<1 zatem ich iloczyn ma warto艣膰 bezwzgl臋dn膮 mniejsz膮 ni偶 10. b) je艣li $x\in (-1,1)$ to ju偶 tak g艂adko nie oszacujemy iloczynu. ale sobie mo偶emy rozbi膰. b1) je艣li $x\in (-1,-\frac{1}{2})$ |x-1|<2 |x+1|<$\frac{1}{2}$ |x+2|<$\frac{3}{2}$ |x+3|<$\frac{5}{2}$ b2) je艣li $x\in (-\frac{1}{2},0)$ |x-1|<$\frac{3}{2}$ |x+1|<1 |x+2|<2 |x+3|<3 b3) je艣li $x\in (0,\frac{1}{4})$ |x-1|<1 |x+1|<$\frac{5}{4}$ |x+2|<$\frac{9}{4}$ |x+3|<$\frac{13}{4}$ b4) je艣li $x\in (\frac{1}{4},\frac{1}{2})$ |x-1|<$\frac{3}{4}$ |x+1|<$\frac{6}{4}$ |x+2|<$\frac{10}{4}$ |x+3|<$\frac{14}{4}$ b5) je艣li $x\in (\frac{1}{2},\frac{3}{4})$ |x-1|<$\frac{2}{4}$ |x+1|<$\frac{7}{4}$ |x+2|<$\frac{11}{4}$ |x+3|<$\frac{15}{4}$ b6) je艣li $x\in (\frac{3}{4},1)$ |x-1|<$\frac{1}{4}$ |x+1|<2 |x+2|<3 |x+3|<4 Wida膰 og贸ln膮 lini臋 tego naprawd臋 偶mudnego pisania? Mo偶na by艂o liczy膰 maksima funkcji z pochodnych, no ale nie wiem czy w liceum taka metoda jest osi膮galna. Mo偶na by艂o przedstawi膰 wielomian jako sum臋 prostszych wielomian贸w, o kt贸rych da si臋 powiedzie膰, 偶e przyjmuj膮 warto艣ci ujemne. To pr贸bowa艂 zrobi膰 Janusz, tylko zrobi艂 b艂臋dnie. Ta rozpiska wy偶ej pokazuje, 偶e je艣li rozpatrzymy przedzia艂ami, jaka jest warto艣膰 wielomianu, zawsze wychodzi ujemna. Licz臋 tylko warto艣ci bezwzgl臋dne, gdyby iloczyn warto艣ci bezwzgl臋dnych by艂 wi臋kszy lub r贸wny 10, to sam iloczyn m贸g艂by by膰 mniejszy lub r贸wny -10, po dodaniu 10 m贸g艂by by膰 mniejszy lub r贸wny 0, a z minusem przed nawiasem: wi臋kszy lub r贸wny 0. Oczywi艣cie mog艂em si臋 gdzie艣 pomyli膰. Je艣li wielomian rzeczywi艣cie przyjmuje tylko warto艣ci ujemne, to rozbicie dziedziny na pewn膮 (sko艅czon膮) ilo艣膰 mniejszych przedzia艂贸w pozwala szacowa膰 tak jak powy偶ej. Skoro warto艣ci bezwzgl臋dne maj膮 iloczyn mniejszy ni偶 10 w ka偶dym przypadku, to iloczyn samych nawias贸w jest wi臋kszy ni偶 -10, po dodaniu 10 jest dodatni, a z minusem przed nawiasem: ujemny. Nie chcia艂o mi si臋 zmienia膰 znak贸w nier贸wno艣ci na $\le$, ale oczywi艣cie ko艅ce przedzia艂贸w te偶 maj膮 by膰 w艂膮czone. Gdzie wygodnie. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-11-14 21:07:28 przez tumor |
aididas post贸w: 279 | 2015-11-15 00:09:53 I chyba faktycznie nie b臋dzie prostszego uzasadnienia ujemno艣ci tego wyra偶enia. No pozostaje ta pochodna ale zale偶a艂o mi na jak najbardziej elementarnym rozwi膮zaniu. Swoj膮 drog膮, wszystkie podstawowe rzeczy z analizy matematycznej s膮 obecnie w nowym programie nauczania dla liceum. Osoba przyst臋puj膮ca teraz do matury powinna co艣 wiedzie膰 na temat pochodnych, ekstremach (a z pewno艣ci膮 ta osoba, kt贸ra rozszerza matematyk臋). Ja osobi艣cie jeszcze nic nie kojarz臋 w tych sprawach, ale w przeci膮gu miesi膮ca dzi臋ki lekcjom w szkole powinno si臋 to zmieni膰. |
janusz78 post贸w: 820 | 2015-11-15 15:33:49 Je艣li sprowadzimy tr贸jmiany wyst臋puj膮ce w wyra偶eniu do postaci kanonicznej $x^2 +3x +2 = (x+1.5)^2- 0,25$ $ -x^2 - 2x + 3 = -(x+1)^2 + 4 $ i podstawimy do wyra偶enia, to otrzymamy nier贸wno艣膰 $\left[(x+1.5)^2 -0.25\right]\left[(x+1)^2-4\right]>-10.$ Nier贸wno艣膰 ta jak wida膰 jest spe艂niona dla ka偶dego rzeczywistego $ x $ Bo najmniejsz膮 warto艣ci膮 iloczynu tr贸jmian贸w jest liczba $ -0,25\cdot (-4) = 1 > -10,$ za艣 ka偶da inna jego warto艣膰 jest wi臋ksza od 1, tym bardziej wi臋ksza od liczby $ -10.$ |
tumor post贸w: 8070 | 2015-11-15 15:55:52 No no, trzeci post i trzeci b艂膮d. To prawie imponuj膮ce. Ot贸偶 o ile nier贸wno艣膰 $[(x+1,5)^2-0,25][(x+1)^2-4]>-10$ jest prawdziwa, o tyle nie uzasadnia tego przera藕liwie g艂upie wnioskowanie, 偶e najmniejsz膮 warto艣ci膮 iloczynu tr贸jmian贸w jest liczba $-0,25\cdot(-4)=1>-10$ poniewa偶 iloczyn tych dw贸ch tr贸jmian贸w przyjmuje te偶 warto艣ci ujemne, cho膰by dla $x=-0,5$ albo dla $x=0,9$. :) Samo zapisanie w postaci kanonicznej mo偶e u艂atwi膰 szacowanie, natomiast nie szacujesz poprawnie, Janusz. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2015-11-15 20:49:44 przez tumor |
kebab post贸w: 106 | 2015-12-30 21:01:19 Chyba o to chodzi艂o: $-x^4-5x^3-5x^2+5x-4= - \left (x^2+\frac{5}{2}x-1 \right )^2 -\frac{3}{4}x^2-3 < 0$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj