logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Geometria, zadanie nr 5497

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

krzysiekj
postów: 3
2015-11-14 17:32:02

Na bokach BC i CD kwadratu ABCD wybrano takie punkty E i F, że miara kąta EAF jest równa 45
stopni. Odcinki AE oraz AF przecinają przekątną BD kwadratu odpowiednio w punktach G i H.
Wykaż, że pole trójkąta AGH jest równe polu czworokąta GEFH.


rockstein
postów: 33
2016-01-16 14:37:04

Przepraszam, że rozwiązanie zadania będzie bez rysunku. Postaram się podać dokładny opis szkicu, według którego każdy zainteresowany Czytelnik sporządzi swój własny.
Punkty przecięcia przekątnej kwadratu DB odcinkami AF i AE oznaczam odpowiednio H, G. Kąt nachylenia odcinka AE względem boku kwadratu AB=a oznaczam jako (alfa). Z prostej analizy szkicu wynika, że kąt(AGB)= 135-(alfa), kąt(AFD)=45+(alfa),
kąt(DHA)=90+(alfa).

Teza zadania: [AGH]=[GEFH]
Wykażę, że pole [AEF]=2*[AGH], skąd będzie: [AGH]=[GEFH]

AE=a/cos(alfa); z tw. sinusów: AG/sin(45)=a/sin[180-(45+alfa)], skąd AG=a*sin(45)/sin(45+alfa).
AF=a/sin(45+alfa); z tw. sinusów: AH/sin(45)=a/sin(90+alfa), skąd AH=a*sin(45)/cos(alfa).
[AGH]=(1/2)*AG*AH*sin(45), skąd po łatwych przekształceniach [AGH]=(a^2)*SQR(2)/[8*sin(45+alfa)*cos(alfa)].
Z kolei [AFE]=(1/2)*AE*AF*sin(45), skąd:
[AFE]=(a^2)*SQR(2)/[4*cos(alfa)*sin(45+alfa)].
Z porównania [AGH] i [AFE] wynika, że 2*[AGH]=[AFE], a ponieważ [AFE]=[AGH]+[GEFH], więc [AGH]=[GEFH]
q.e.d.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 28 drukuj