Geometria, zadanie nr 5497
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
krzysiekj post贸w: 3 |  2015-11-14 17:32:02Na bokach BC i CD kwadratu ABCD wybrano takie punkty E i F, 偶e miara k膮ta EAF jest r贸wna 45 stopni. Odcinki AE oraz AF przecinaj膮 przek膮tn膮 BD kwadratu odpowiednio w punktach G i H. Wyka偶, 偶e pole tr贸jk膮ta AGH jest r贸wne polu czworok膮ta GEFH. |
rockstein post贸w: 33 | 2016-01-16 14:37:04 Przepraszam, 偶e rozwi膮zanie zadania b臋dzie bez rysunku. Postaram si臋 poda膰 dok艂adny opis szkicu, wed艂ug kt贸rego ka偶dy zainteresowany Czytelnik sporz膮dzi sw贸j w艂asny. Punkty przeci臋cia przek膮tnej kwadratu DB odcinkami AF i AE oznaczam odpowiednio H, G. K膮t nachylenia odcinka AE wzgl臋dem boku kwadratu AB=a oznaczam jako (alfa). Z prostej analizy szkicu wynika, 偶e k膮t(AGB)= 135-(alfa), k膮t(AFD)=45+(alfa), k膮t(DHA)=90+(alfa). Teza zadania: [AGH]=[GEFH] Wyka偶臋, 偶e pole [AEF]=2*[AGH], sk膮d b臋dzie: [AGH]=[GEFH] AE=a/cos(alfa); z tw. sinus贸w: AG/sin(45)=a/sin[180-(45+alfa)], sk膮d AG=a*sin(45)/sin(45+alfa). AF=a/sin(45+alfa); z tw. sinus贸w: AH/sin(45)=a/sin(90+alfa), sk膮d AH=a*sin(45)/cos(alfa). [AGH]=(1/2)*AG*AH*sin(45), sk膮d po 艂atwych przekszta艂ceniach [AGH]=(a^2)*SQR(2)/[8*sin(45+alfa)*cos(alfa)]. Z kolei [AFE]=(1/2)*AE*AF*sin(45), sk膮d: [AFE]=(a^2)*SQR(2)/[4*cos(alfa)*sin(45+alfa)]. Z por贸wnania [AGH] i [AFE] wynika, 偶e 2*[AGH]=[AFE], a poniewa偶 [AFE]=[AGH]+[GEFH], wi臋c [AGH]=[GEFH] q.e.d. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj