logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Planimetria, zadanie nr 55

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

steeve
postów: 5
2010-04-01 21:10:16

Zad. W trójkąt równoboczny o boku "a" cm wpisano kwadrat. Oblicz pole tego kwadratu.

Próbowałem to obliczać z trygonometri, biorąc pod uwagę, że każdy kąt ma 60 stopni, nie dało rady: /


Mariusz Śliwiński
postów: 491
2010-04-01 22:17:37


Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.
Trójkąt o bokach x, b, c jest prostokątny. Długość boku c jest dwukrotnie większa od długości boku x.
$c = 2x$
Z tw. Pitagorasa $b^2 = c^2 - x^2$
$b^2 = (2x)^2 - x^2$
$b^2 = 3x^2 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{3}b$

$a = 2x + b = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}b + b$
$3a = 2\sqrt{3}b + 3b$
$b(2\sqrt{3}+3) = 3a$
$b = \frac{3a}{2\sqrt{3}+3} $

Pozbywamy się niewymierności z mianownika
$b = \frac{3a}{2\sqrt{3}+3} \cdot \frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}-3} = \frac{6a\sqrt{3}- 9a}{3} = 2a\sqrt{3}- 3a = a(2\sqrt{3} - 3)$

Pole kwadratu:
$P = b^2$
$P = {(a(2\sqrt{3} - 3))}^2$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 86 drukuj