logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Geometria, zadanie nr 56

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

steeve
postów: 5
2010-04-02 22:58:44

Zad. Pole trapezu jest równe "P", a stosunek długości podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trókątów.

Kompletnie nie mam na to pomysłu;/ Zacząłem coś robić z tym, stosunkiem boków ale utknąłem.


zorro
postów: 106
2010-04-03 03:35:48

Zadanie wymaga nieco sprytu i dokładnego rysunku pomocniczego.
Zrób tak:
Narysuj trapez (przypadek ogólny) o dłuższej podstawie na dole i oznacz wierzchołki A,B,C,D poczynając od lewego dolnego rogu i poruszając się przeciwnie do wskazówek zegara.
Teraz narysuj przekątne i punkt ich przecięcia oznacz przez S.
Poprowadź wysokość trapezu przechodząc przez punkt S i oznacz na dłuższej podstawie punkt K, a na krótszej punkt L na styku lini wysokości i podstaw.
Teraz wprowadźmy pomocnicze oznaczenia:
Pole trójkąta ABS = $P_{1}$
Pole trójkąta DCS = $P_{2}$
Pole trójkąta ADS = $P_{3}$
Pole trójkąta BCS = $P_{4}$
odcinek AB = $a_{1}$ (podstawa dłuższa)
odcinek CD = $a_{2}$ (podstawa krótsza)
odcinek KS = $h_{1}$ (dłuższa część wysokości)
odcinek LS = $h_{2}$ (krótsza część wysokości)
odsinek AS = $b_{1}$
odsinek CS = $b_{2}$
odsinek BS = $c_{1}$
odsinek DS = $c_{2}$
Kąt $\angleASB = \angleCSD = \alpha$
Kąt $\angleASD = \angleCSB = \beta$

Mamy:
$P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}=P$
oraz:
$\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})(h_{1}+h_{2})=P$
(wzór na pole trapezu gdzie wysokość = $h_{1}+h_{2}$)

wiemy też, że
$a_{1}= 2a_{2}$ co pociąga za sobą
$h_{1}= 2h_{2}$
$b_{1}= 2b_{2}$
$c_{1}= 2c_{2}$
ponieważ trójkąty ASB i CSD są podobne.

drugie równanie można więc przekształcić:
$\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})(h_{1}+h_{2})=\frac{1}{2}(2a_{2}+a_{2})(2h_{2}+h_{2})=\frac{9}{2}a_{2}h_{2}=9P_{2}=P$
więc $P_{2}=\frac{1}{9}P$

teraz określamy stosunki pól odpowiednich trójkątów
$\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{\frac{1}{2}a_{1}h_{1}}{\frac{1}{2}a_{2}h_{2}}=\frac{2a_{2}2h_{2}}{a_{2}h_{2}}=4$
$P_{1}=4P_{2}=\frac{4}{9}P$

$\frac{P_{3}}{P_{4}}=\frac{\frac{1}{2}b_{1}c_{2}sin\beta}{\frac{1}{2}c_{1}b_{2}sin\beta}=\frac{b_{1}c_{2}}{c_{1}b_{2}}=1$
$P_{3}=P_{4}$

z równania pierwszego (sumy pól) i ostatniej równości mamy:
$P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}=\frac{4}{9}P+\frac{1}{9}P +2P_{3}=P$
$2P_{3}=P-\frac{5}{9}P=\frac{4}{9}P$
$P_{3}=\frac{2}{9}P$ więc i
$P_{4}=\frac{2}{9}P$.





strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 104 drukuj