Geometria, zadanie nr 56
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
steeve post贸w: 5 |  2010-04-02 22:58:44Zad. Pole trapezu jest r贸wne \"P\", a stosunek d艂ugo艣ci podstaw trapezu wynosi 2. Przek膮tne dziel膮 ten trapez na cztery tr贸jk膮ty. Oblicz pole ka偶dego z tych tr贸k膮t贸w. Kompletnie nie mam na to pomys艂u;/ Zacz膮艂em co艣 robi膰 z tym, stosunkiem bok贸w ale utkn膮艂em. |
zorro post贸w: 106 | 2010-04-03 03:35:48 Zadanie wymaga nieco sprytu i dok艂adnego rysunku pomocniczego. Zr贸b tak: Narysuj trapez (przypadek og贸lny) o d艂u偶szej podstawie na dole i oznacz wierzcho艂ki A,B,C,D poczynaj膮c od lewego dolnego rogu i poruszaj膮c si臋 przeciwnie do wskaz贸wek zegara. Teraz narysuj przek膮tne i punkt ich przeci臋cia oznacz przez S. Poprowad藕 wysoko艣膰 trapezu przechodz膮c przez punkt S i oznacz na d艂u偶szej podstawie punkt K, a na kr贸tszej punkt L na styku lini wysoko艣ci i podstaw. Teraz wprowad藕my pomocnicze oznaczenia: Pole tr贸jk膮ta ABS = $P_{1}$ Pole tr贸jk膮ta DCS = $P_{2}$ Pole tr贸jk膮ta ADS = $P_{3}$ Pole tr贸jk膮ta BCS = $P_{4}$ odcinek AB = $a_{1}$ (podstawa d艂u偶sza) odcinek CD = $a_{2}$ (podstawa kr贸tsza) odcinek KS = $h_{1}$ (d艂u偶sza cz臋艣膰 wysoko艣ci) odcinek LS = $h_{2}$ (kr贸tsza cz臋艣膰 wysoko艣ci) odsinek AS = $b_{1}$ odsinek CS = $b_{2}$ odsinek BS = $c_{1}$ odsinek DS = $c_{2}$ K膮t $\angleASB = \angleCSD = \alpha$ K膮t $\angleASD = \angleCSB = \beta$ Mamy: $P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}=P$ oraz: $\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})(h_{1}+h_{2})=P$ (wz贸r na pole trapezu gdzie wysoko艣膰 = $h_{1}+h_{2}$) wiemy te偶, 偶e $a_{1}= 2a_{2}$ co poci膮ga za sob膮 $h_{1}= 2h_{2}$ $b_{1}= 2b_{2}$ $c_{1}= 2c_{2}$ poniewa偶 tr贸jk膮ty ASB i CSD s膮 podobne. drugie r贸wnanie mo偶na wi臋c przekszta艂ci膰: $\frac{1}{2}(a_{1}+a_{2})(h_{1}+h_{2})=\frac{1}{2}(2a_{2}+a_{2})(2h_{2}+h_{2})=\frac{9}{2}a_{2}h_{2}=9P_{2}=P$ wi臋c $P_{2}=\frac{1}{9}P$ teraz okre艣lamy stosunki p贸l odpowiednich tr贸jk膮t贸w $\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{\frac{1}{2}a_{1}h_{1}}{\frac{1}{2}a_{2}h_{2}}=\frac{2a_{2}2h_{2}}{a_{2}h_{2}}=4$ $P_{1}=4P_{2}=\frac{4}{9}P$ $\frac{P_{3}}{P_{4}}=\frac{\frac{1}{2}b_{1}c_{2}sin\beta}{\frac{1}{2}c_{1}b_{2}sin\beta}=\frac{b_{1}c_{2}}{c_{1}b_{2}}=1$ $P_{3}=P_{4}$ z r贸wnania pierwszego (sumy p贸l) i ostatniej r贸wno艣ci mamy: $P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}=\frac{4}{9}P+\frac{1}{9}P +2P_{3}=P$ $2P_{3}=P-\frac{5}{9}P=\frac{4}{9}P$ $P_{3}=\frac{2}{9}P$ wi臋c i $P_{4}=\frac{2}{9}P$. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj