logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Trygonometria, zadanie nr 5620

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

nacix
postów: 22
2015-12-25 21:14:27

Kąty $\alpha$ i $\beta$ są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego i spełniony jest warunek $sin^{2}\alpha$ - $\frac{1}{3}cos\beta$=0. Oblicz wartość wyrażenia:

$sin^{2}\alpha$ * $sin\beta$ - $cos^{2}\alpha$ * $cos\beta$


kebab
postów: 106
2015-12-25 22:33:11

Założenia:
$0<\alpha, \beta < \frac{\pi}{2}$
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$
$\sin ^2 \alpha - \frac{1}{3}\cos \beta =0$

Podstawiamy $\beta = \frac{\pi}{2}-\alpha$ i korzystamy ze wzorów redukcyjnych:
$\sin ^2 \alpha - \frac{1}{3}\cos \left (\frac{\pi}{2}-\alpha \right ) =0$
$\sin ^2 \alpha - \frac{1}{3}\sin \alpha =0$
$\sin \alpha \left ( \sin \alpha - \frac{1}{3} \right )=0$
czyli musi być $\sin \alpha =\frac{1}{3}$

Teraz podstawiamy $\alpha=\frac{\pi}{2}-\beta$:
$\sin \left (\frac{\pi}{2}-\beta \right )=\frac{1}{3}$
$\cos \beta = \frac{1}{3}$

Za pomocą jedynki trygonometrycznej liczymy $\cos \alpha$ oraz $\sin \beta$ i na końcu wyliczamy wartość szukanego wyrażenia.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj