logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Ciągi, zadanie nr 5690

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

klaudias71
postów: 127
2016-03-01 16:35:33

1. Oblicz $a_{1},r, S_{20}$ ciagu arytmetycznego, w którym $a_{8}=30$ oraz $a_{11}+a_{15}=100$

2. Oblicz $a_{1},q, S_{6}$ ciagu geometrycznego, w którym $a_{2}=16$ oraz $a_{5}=128$


tumor
postów: 8070
2016-03-01 17:10:18

1.
$a_{11}+a_{15}-2a_8=a_1+10r+a_1+14r-2(a_1+7r)$
Podstawiamy, co znamy, wyliczamy r, mając r liczymy
$a_8=a_1+7r$ i wyliczamy $a_1$

Wzór na $S_n$ to $\frac{a_1+a_n}{2}*n $


2.
$a_5=a_2*q^3$
podstawiamy znane wartości, wyliczamy $q^3$, potem q.

$a_1*q=a_2$, wyliczamy stąd $a_1$

Wzór na $S_n$ to $a_1*\frac{1-q^n}{1-q}$


klaudias71
postów: 127
2016-03-01 17:32:09

1. Dlaczego $-2a_{8}$ i skąd 10r i później 14r i w nawiasie 7r?
Nie wiem jak zrobić to zadanie, może byc tak?
100-2*30=$a_{1}+10r+a_{1}+14r-2(a_{1}+7r)$

2.
128=16*$q^{3}$
8=$q^{3}$
q=2

$a_{1}*2=16$
$a_{1}=8$

Jak na razie dobrze?


tumor
postów: 8070
2016-03-01 17:37:35

Czasem mam wątpliwości, czy w ogóle bywasz w szkole.

Ciąg arytmetyczny na tym właśnie polega, że $a_5=a_1+4r$, a $a_8=a_1+7r$.

Odjąłem $2a_8$, żeby po podstawieniu zredukowało się $a_1$. Wykonaj proponowane operacje i zobacz, że $a_1$ znika, dzięki czemu można wyliczyć r.

2. OK


klaudias71
postów: 127
2016-03-01 17:53:48

1. Czyli to jest dobrze?
$100-2*30=a_{1}+10r+a_{1}+14r-2(a1+7r)$

2. $S_{20}=8*\frac{1-2^{20}}{1-2}$


tumor
postów: 8070
2016-03-01 18:04:56

1. Dobrze zaczęte. Ale licz to dalej. :)

2. W tym zadaniu liczymy $S_6$


klaudias71
postów: 127
2016-03-01 18:54:19

1. 40=a1+10r+a1+14r-2a1-14r
40=10r
r=4

30=a1+7*4
30=a1+28
a1=2

Tak?

2. Faktycznie ale to juz będę wiedziec. Dziękuję :)


tumor
postów: 8070
2016-03-01 19:05:09

Tak. Rozwiązane poprawnie.
Poprawność wyników możesz sprawdzać samodzielnie. Jeśli $a_1=2, r=4$, to $a_8=2+4*7=30$, natomiast $a_{11}=42$, $a_{15}=58$, razem te wyrazy dają $100$.


W zadaniu podano $a_8$ oraz sumę $a_{11}+a_{15}$. Chcieliśmy liczyć $r$, wobec tego tak odejmowałem, żeby z równania zniknęło $a_1$. Mogliśmy odejmować inaczej, żeby znikło $r$, wtedy najpierw policzylibyśmy $a_1$, a dopiero potem $r$.
Dla wyników oczywiście nie ma to znaczenia. Przemyśl ten sposób usuwania nadmiaru niewiadomych z równań.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 22 drukuj