logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Geometria w układzie kartezjańskim, zadanie nr 5692

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dagmara
postów: 11
2016-03-02 23:38:31


Znajdź zbiór środków cięciw paraboli $y=-x^{2}$ przechodzących przez punkt $P (0,-2)$


tumor
postów: 8070
2016-03-03 00:02:15

Prosta przechodząca przez P nie jest pionowa, skoro ma mieć dwa punkty przecięcia z parabolą.
Zatem możemy ją zapisać jako $y=a(x-0)-2$, gdzie $a$ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Wzór paraboli to $y=-x^2$, a interesują nas (częściowo, nie jako wynik końcowy) punkty przecięcia prostej i paraboli. Zatem
$-x^2=ax-2$
$0=x^2+ax-2$
$\Delta=...$
$x_1=...$
$x_2=...$

środki cięciw mają odciętą $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$, tu podstawiamy wyliczony wcześniej wartości $x_1$ i $x_2$ zależne od a,
natomiast rzędną $y_0=ax_0-2$, gdzie podstawiamy nasze $x_0$.
Jeśli teraz zmienna $a$ przebiega zbiór liczb rzeczywistych, to $(x_0,y_0)$ dają zbiór punktów, które mamy znaleźć.
Możemy drugą współrzędną tych punktów wyrazić jako funkcję pierwszej współrzędnej, taki zapis będzie może dla kogoś bardziej oczywisty.


dagmara
postów: 11
2016-03-03 00:21:58

Dziękuję, jednak wciąż jestem w tym samym miejscu. Wyliczyłam współrzędne środka cięciw $(-\frac{1}{2}a,-\frac{1}{2}a^{2}-2)$ Nie rozumiem dwóch ostatnich zdań, czy można bardziej je rozwinąć?


tumor
postów: 8070
2016-03-03 08:18:11

Środków cięciw jest nieskończenie wiele, to wszystkie takie punkty jak wyliczone, gdzie $a\in R$.

No ale można zapisać ten wynik nieco inaczej.

Zauważ, że jeśli pierwsza współrzędna to $x=-\frac{a}{2}$, to druga
$y=-\frac{a^2}{2}-2=-2(\frac{-a}{2})^2-2=-2x^2-2$

Zatem te same punkty możemy opisać jako $(x,-2x^2-2)$, albo inaczej jako $y=-2x^2-2$, czyli zapisując w postaci funkcji $y(x)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 28 drukuj