logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Stereometria, zadanie nr 5693

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

myszek
postów: 2
2016-03-05 12:23:29

Punkty K,L,M są środkami krawędzi AB,BC i BB' sześcianu ABCDA'B'C'D'.
a) Jaką część objętości sześcianu stanowi objętość ostrosłupa KLMB?
b) Wiedząc dodatkowo, że odległość wierzchołka B od płaszczyzny (KLM) jest równa \sqrt{3} (pierwiastek z 3) , oblicz długość krawędzi sześcianu.

Bardzo proszę o pomoc :) wyniki to a) 1/24 b) 3


janusz78
postów: 820
2016-03-07 15:36:12


Pierwszy sposób (bezpośrednie obliczenie objętości)

$V = a^3 $ objętość sześcianu o krawędzi długości $ a. $

$ v= \frac{1}{3}P_{p}h $- objętość ostrosłupa

$ P_{p} $ - pole trójkąta prostokątnego równoramiennego.

$ h =\frac{a}{2}$ - wysokość ostrosłupa.

$ P_{p}= \frac{1}{2}(\frac{a}{2})^2= \frac{1}{8}a^2.$

Objętość ostrosłupa

$ v = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\frac{a}{2}\frac{a}{2}\frac{a}{2}= \frac{a^3}{48}= \frac{1}{48}a^3 = \frac{1}{48}V.$

Drugi sposób (skala podobieństwa)

Objętość V' sześcianu o krawędziach długości $ \frac{1}{2}a $ jest równa sześcianowi skali podobieństwa $ k=\frac{1}{2}.$

Objętość sześcianu o krawędzi długości $\frac{1}{2}a $

$ V'= (\frac{a}{2})^3= \frac{1}{8}a^3 = \frac{1}{8}V.$

Objętość ostrosłupa $v = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}V'= \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{8}V= \frac{1}{48}V.$

b)

$\frac{1}{48}a^3 = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot b \cdot h_{b}\cdot\sqrt{3}.$

$ b = \frac{1}{2}\frac{a}{2}\sqrt{2}.$
$ h_{b}= \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{1}{2}\frac{a}{2}\sqrt{2})^2},$

$h_{b} = \frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.$

$\frac{1}{48}a^3 = \frac{1}{3}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{a}{2}\sqrt{2}\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\sqrt{3}.$

$ \frac{1}{48}a^3 =\frac{1}{48}a^2\cdot 3.$

$ a^3 = 3a^2. $

$ a^3-3a^2=0 , \ \ a^2(a-3) =0, \ \ a=3.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 28 drukuj