logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Stereometria, zadanie nr 5698

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

blunio
postów: 21
2016-03-11 14:39:39

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez równoramienny ABCD , którego ramiona mają długość |AD | = |BC | = 16$\sqrt{2}$ i tworzą z podstawą AB kąt ostry o mierze 45∘ . Każda ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem α takim, że tgα = 15/8 . Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego ściany bocznej SAD.


janusz78
postów: 820
2016-03-12 21:47:50


Rysunek:

Z treści zadania wynika, że spodek wysokości O ostrosłupa pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego o promieniu $ r $ w jego podstawę.

Wysokość trapezu równoramiennego jest równa $ 16 = 2r,$ stąd $ r= 8.$

Z trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej SAD ostrosłupa, jedną z przyprostokątnych - promień okręgu wpisanego w trapez równoramienny a drugą przyprostokątną wysokość $ H $ ostrosłupa:

$ tg(\beta)= \frac{H}{r} = \frac{15x}{8x},\ \ 8x =8,\ \ x=1,\ \ H=15x = 15\cdot 1 = 15. $

Jeśli odległość spodka wysokości od ściany bocznej ostrosłupa SAD oznaczymy przez $ |OE|= d $, to z trójkąta prostokątnego OEA:

$ \sin(\beta) = \frac{d}{r},\ \ d = r\sin(\beta) $ (1)

Obliczając wartość sinusa miary kąta beta, gdy tangens tego kąta jest równy $ \frac{15}{8}, $ otrzymujemy

$ \frac{15}{8}= \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}= \frac{\sin(\beta)}{\sqrt{1-\sin^2(\beta)}}.$

Stąd

$ \sin(\beta) = \frac{15}{17}.$

Z (1)

$ d= 8\cdot \frac{15}{17} = \frac{120}{17}= 7\frac{1}{17}.$


Wiadomość była modyfikowana 2016-03-12 21:54:36 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 24 drukuj