logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Stereometria, zadanie nr 5729

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

rroott33
postów: 10
2016-03-29 14:38:48

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wpisanego w kulę o promieniu R, jeśli wiadomo, że krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 60∘.


tumor
postów: 8070
2016-03-29 14:55:14

Wierzchołki podstawy ABC, czwarty wierzchołek D, spodek wysokości S (jest środkiem ciężkości podstawy).

Trójkąt ADS jest prostokątny. Znamy jeden z kątów ostrych. Możemy zatem obliczyć stosunek między wysokością DS a bokiem AS (to tangens kąta, który znamy).

Następnie na wysokości DS musimy znaleźć punkt równo oddalony od A i od D. Odległość od A i od D tego punktu to promień naszej kuli.
By znaleźć ten punkt korzystamy z
- sumy kątów wewnętrznych trójkąta
- trygonometrii
- dwusiecznej kąta
- twierdzenia Pitagorasa
albo jakiejś innej wiedzy z tego działu. Ważne, żeby ustalić, jaką część wysokości DS stanowi promień R. Wówczas wyznaczamy długość DS w zależności od R, podobnie wyznaczamy AS w zależności od R (korzystając z wcześniej znalezionej proporcji).

ABC jest równoboczny, wobec tego znajomość AS pozwala liczyć jego pole, które się przyda do obliczenia objętości ostrosłupa.


rroott33
postów: 10
2016-03-29 17:33:38

[hide] [/hide]


rroott33
postów: 10
2016-03-29 17:34:20

Nie mam pojęcia w jaki sposób obliczyć stosunek wysokosci ostrosłupa do promienia kuli


tumor
postów: 8070
2016-03-29 20:30:18

Przecie napisałem, że można użyć sumy kątów wewnętrznych. :)
Trójkąt, którego ramionami są R i R, jest przecież równoramienny o kątach przy podstawie $30^\circ$. Prawda? Zatem znamy też kąty w trójkącie o przyprostokątnych $H-R$ oraz $\frac{2}{3}h$.

Skoro H masz zapisane przy użyciu h, to teraz możesz zapisać R przy użyciu h, czy też odwrotnie, h przy użyciu R. Potem H przy użyciu R.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 25 drukuj