logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Geometria, zadanie nr 5733

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

blunio
postów: 21
2016-04-05 21:32:03

W stożek wpisana jest kula. Promień okręgu, który jest wspólną częścią powierzchni kuli i powierzchni stożka, ma długość r, kąt między tworzącą stożka i jego wysokością ma miarę alfa. Oblicz objętość stożka.

Moje pytanie brzmi: Z czego wyznaczyć promień podstawy stożka?


tumor
postów: 8070
2016-04-05 22:31:22

Z trygonometrii, z podobieństwa trójkątów.

Mamy dane $r$ (pewnego okręgu) i $\alpha$. To bok i kąt pewnego trójkąta prostokątnego. Wobec tego możemy zapisać przy użyciu tych danych także nieznaną przyprostokątną (będzie to część wysokości stożka).

Nasze $r$, a poza nim promień $R$ kuli wpisanej w stożek oraz drobny fragment wysokości stożka tworzą inny trójkąt prostokątny. Jest on jednak podobny do wcześniejszego. Skąd wiemy, że ma kąt $\alpha$?

Zatem $R$ oraz drugi kawałek wysokości możemy zapisać za pomocą $r$ i $\alpha$.
Wreszcie promień x podstawy stożka jest przyprostokątną w kolejnym trójkącie podobnym do wcześniejszych. Znamy już całą wysokość stożka (zapisaną za pomocą $r$ i $\alpha$), no i znamy $\alpha$. Możemy zatem z trygonometrii policzyć też x.


blunio
postów: 21
2016-04-06 11:35:32

Stosuje oznaczenia takie, jakie zostały wprowadzone w powyższej odpowiedzi.

Jak wyznaczyć R - promień kuli wpisanej oraz ten drobny fragment wysokości, dajmy na to: L ?

Mam 2 trójkąty:

1) przyprostokątna r - dany promień i przyprostokątna k - najwyższy fragment wysokości

2)przyprostokątna R i przyprostokątna k + L


Jak ułożę równanie z podobieństwa tych trójkątów i wyznaczę coś z tangensa alfa to wszystko się skraca i wychodzi zawsze 0 = 0, już próbowałem na kilka sposobów.


tumor
postów: 8070
2016-04-06 11:55:28

Wybacz, nieco zmieniam oznaczenia
$r,\alpha$ - jak w treści
$R$ - promień kuli
$H$ - wysokość stożka
$h_1,h_2,R$ - kolejne (od wierzchołka stożka) fragmenty wysokości, gdzie $h_1$ i $h_2$ stykają się w środku okręgu o promieniu r.
$h_1+h_2+R=H$
$L$ - promień podstawy stożka

Trójkąt prostokątny o bokach $h_1, r$:
$h_1=r*ctg\alpha$

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $h_2,r$ i przeciwprostokątnej $R$:
$h_2=r*tg\alpha$
$R=\frac{r}{cos\alpha}$

Trójkąt o przyprostokątnych $H$ i $L$:
$H=h_1+h_2+R$
$L=H*tg\alpha$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 69 drukuj