logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Geometria, zadanie nr 5750

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

szymko
postów: 30
2016-04-19 23:02:53

Jaki powinien być kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego o danym polu, aby promień okręgu wpisanego w ten trójkąt był największy ?
Probowałem to zrobić z funkcjami trygonometrycznymi ale pochodna nie wychodzi mi dobrze


tumor
postów: 8085
2016-04-20 11:40:52

żeby nieco ułatwić sobie zadanie, rozumowałem tak:

$r=\frac{2P}{L}$, gdzie P jest polem, L obwodem trójkąta.

Maksymalny promień otrzymamy oczywiście dla minimalnego obwodu. Czyli przy danym polu mamy znaleźć trójkąt o najmniejszym obwodzie.
Jest to analogicznie zadanie do znalezienia trójkąta o największym polu przy danym obwodzie.

Zatem poszukajmy trójkąta równoramiennego o największym polu, jeśli obwód jest L.
Wówczas boki to $a,\frac{L-a}{2},\frac{L-a}{2}$, natomiast pole ze wzoru Herona wyraża się
$\sqrt{\frac{L}{2}(\frac{L}{2}-a)(\frac{a}{2})(\frac{a}{2})}$
wobec tego interesuje nas maksymalne
$(\frac{L}{2}-a)(\frac{a}{2})(\frac{a}{2})$
czyli maksymalne $\frac{La^2-2a^3}{8}$
Pochodna tego wyrażenia po a wynosi $\frac{1}{8}(2La-6a^2)$, zeruje się, gdy L=3a.
Pochodna w tym punkcie zmienia znak, zatem mamy tam ekstremum.
Maksymalne pole trójkąta równoramiennego uzyskujemy, gdy podstawa jest trzecią częścią obwodu, czyli gdy trójkąt jest równoboczny.
Jeśli zatem ustalone jest pole, to trójkąt równoboczny ma najmniejszy obwód, a co za tym idzie - największy promień okręgu wpisanego.

--

Jak widać nie korzystałem w zadaniu w ogóle z kąta, ale w wyniku dostaliśmy informację o kącie. Jeśli masz jakieś obliczenia, które chcesz sprawdzić, to je rzuć na forum.


janusz78
postów: 820
2016-04-20 19:55:49


Oznaczamy miarę kąta przy wierzchołku trójkąta przez $2\alpha.$

Podstawę trójkąta przez $ 2a.$

$ P = a\cdot h$ (1)

$ h = r +y $

$ y = \frac{r}{\sin(\alpha)}$

$ h = r\left(1 +\frac{1}{\sin(\alpha)}\right)$(2)

$ a = htg(\alpha)= r\left(1 +\frac{1} {\sin(\alpha)}\right)tg(\alpha)$ (3)

Z (2) (3) (1)

$P =r^2\left(1 +\frac{1}{\sin(\alpha)}\right)^2 tg(\alpha)$

$ r(\alpha)=\frac{\sqrt{P\cdot ctg(\alpha)}}{1 +\frac{1}{\sin(\alpha)}}, \ \ \alpha \in (0, \pi/2).$

$r'(\alpha) = \frac{-\frac{P}{\sin^2(\alpha)}\left( 1 +\frac{1}{\sin(\alpha)}\right) + 2P\cdot ctg(\alpha)\cdot \frac{\cos(\alpha)}{sin^2(\alpha)}}{2\sqrt{P\cdot ctg(\alpha)}\left( 1+\frac{1}{\sin(\alpha)}\right)^2}.$

$r'(\alpha)=0 $

gdy

$\frac{P}{\sin^2(\alpha)}\left[ \frac{2\cos^2(\alpha)}{sin(\alpha)}- 1 -\frac{1}{\sin(\alpha)}\right] = 0.$

Stąd

$r'(\alpha) = -(2\sin^2(\alpha)+sin(\alpha)-1)=0.$

$\sin(\alpha)= \frac{1}{2}.$

$ \alpha = \frac{\pi}{6}\in (0, \pi/2).$

Dla $ \alpha < \frac{\pi}{6},\ \ r'(\alpha)>0.$

Dla $ \alpha > \frac{\pi}{6},\ \ r'(\alpha)<0.$

$ \alpha* = \frac{\pi}{6}.$

Dla miary kąta $ 2\alpha* = 2\cdot \frac{\pi}{6}= \frac{\pi}{3}$ - długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny jest największa i wynosi

$ r*= \frac{1}{3}\sqrt{P\sqrt{3}},$

co potwierdza, że długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równa

$ r*= \frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3}h $


Wiadomość była modyfikowana 2016-04-20 20:13:09 przez janusz78

szymko
postów: 30
2016-04-21 00:42:28

Ja próbowałem zrobić to tak:
2b to podstawa, a to ramię trójkąta
$P=\frac{1}{2}a^{2}sin(2\alpha)$
$r=\frac{2P}{2a+2b}$
$sin(\alpha)=\frac{b}{a}\Rightarrow asin(\alpha)=b$

$r(\alpha)=\frac{a^{2}sin(2\alpha)}{2a+2asin(\alpha)}$

$r'(\alpha)=\frac{2a^{2}cos(2\alpha)(2a+2asin(\alpha)-2acos(\alpha)(a^{2}sin(2\alpha))}{(2a^{2}+2asin(\alpha))^{2}}$

$r'(\alpha)=\frac{-sin^{3}(\alpha)-2sin^{2}(\alpha)+1}{(2a^{2}+2asin(\alpha))^{2}}$

Na tym się zatrzymałem i mi nic nie wychodzi dalej tak jak powinno


tumor
postów: 8085
2016-04-21 09:34:16

Liczba $a$ nie jest stałą w Twoim zadaniu, to $a(\alpha)$.
Stałą jest P.
Wobec tego licząc pochodną po $\alpha$ z $a$ należy liczyć jak z FUNKCJI $a$.

Możesz ze wzoru na pole wyliczyć $a$, podstawić do wzoru $r(\alpha)$, co jednak znacząco wzór skomplikuje.
Ja robiąc to zadanie użyłem ujęcia możliwie prostego, bez komplikacji rachunkowych, bo ja rachunków nie lubię.




szymko
postów: 30
2016-04-21 13:34:31

Dzięki wielki, teraz już wszystko wiem

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 90 drukuj