Geometria, zadanie nr 5750
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
szymko post贸w: 30 |  2016-04-19 23:02:53Jaki powinien by膰 k膮t przy wierzcho艂ku tr贸jk膮ta r贸wnoramiennego o danym polu, aby promie艅 okr臋gu wpisanego w ten tr贸jk膮t by艂 najwi臋kszy ? Probowa艂em to zrobi膰 z funkcjami trygonometrycznymi ale pochodna nie wychodzi mi dobrze |
tumor post贸w: 8070 | 2016-04-20 11:40:52 偶eby nieco u艂atwi膰 sobie zadanie, rozumowa艂em tak: $r=\frac{2P}{L}$, gdzie P jest polem, L obwodem tr贸jk膮ta. Maksymalny promie艅 otrzymamy oczywi艣cie dla minimalnego obwodu. Czyli przy danym polu mamy znale藕膰 tr贸jk膮t o najmniejszym obwodzie. Jest to analogicznie zadanie do znalezienia tr贸jk膮ta o najwi臋kszym polu przy danym obwodzie. Zatem poszukajmy tr贸jk膮ta r贸wnoramiennego o najwi臋kszym polu, je艣li obw贸d jest L. W贸wczas boki to $a,\frac{L-a}{2},\frac{L-a}{2}$, natomiast pole ze wzoru Herona wyra偶a si臋 $\sqrt{\frac{L}{2}(\frac{L}{2}-a)(\frac{a}{2})(\frac{a}{2})}$ wobec tego interesuje nas maksymalne $(\frac{L}{2}-a)(\frac{a}{2})(\frac{a}{2})$ czyli maksymalne $\frac{La^2-2a^3}{8}$ Pochodna tego wyra偶enia po a wynosi $\frac{1}{8}(2La-6a^2)$, zeruje si臋, gdy L=3a. Pochodna w tym punkcie zmienia znak, zatem mamy tam ekstremum. Maksymalne pole tr贸jk膮ta r贸wnoramiennego uzyskujemy, gdy podstawa jest trzeci膮 cz臋艣ci膮 obwodu, czyli gdy tr贸jk膮t jest r贸wnoboczny. Je艣li zatem ustalone jest pole, to tr贸jk膮t r贸wnoboczny ma najmniejszy obw贸d, a co za tym idzie - najwi臋kszy promie艅 okr臋gu wpisanego. -- Jak wida膰 nie korzysta艂em w zadaniu w og贸le z k膮ta, ale w wyniku dostali艣my informacj臋 o k膮cie. Je艣li masz jakie艣 obliczenia, kt贸re chcesz sprawdzi膰, to je rzu膰 na forum. |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-04-20 19:55:49 Oznaczamy miar臋 k膮ta przy wierzcho艂ku tr贸jk膮ta przez $2\alpha.$ Podstaw臋 tr贸jk膮ta przez $ 2a.$ $ P = a\cdot h$ (1) $ h = r +y $ $ y = \frac{r}{\sin(\alpha)}$ $ h = r\left(1 +\frac{1}{\sin(\alpha)}\right)$(2) $ a = htg(\alpha)= r\left(1 +\frac{1} {\sin(\alpha)}\right)tg(\alpha)$ (3) Z (2) (3) (1) $P =r^2\left(1 +\frac{1}{\sin(\alpha)}\right)^2 tg(\alpha)$ $ r(\alpha)=\frac{\sqrt{P\cdot ctg(\alpha)}}{1 +\frac{1}{\sin(\alpha)}}, \ \ \alpha \in (0, \pi/2).$ $r\'(\alpha) = \frac{-\frac{P}{\sin^2(\alpha)}\left( 1 +\frac{1}{\sin(\alpha)}\right) + 2P\cdot ctg(\alpha)\cdot \frac{\cos(\alpha)}{sin^2(\alpha)}}{2\sqrt{P\cdot ctg(\alpha)}\left( 1+\frac{1}{\sin(\alpha)}\right)^2}.$ $r\'(\alpha)=0 $ gdy $\frac{P}{\sin^2(\alpha)}\left[ \frac{2\cos^2(\alpha)}{sin(\alpha)}- 1 -\frac{1}{\sin(\alpha)}\right] = 0.$ St膮d $r\'(\alpha) = -(2\sin^2(\alpha)+sin(\alpha)-1)=0.$ $\sin(\alpha)= \frac{1}{2}.$ $ \alpha = \frac{\pi}{6}\in (0, \pi/2).$ Dla $ \alpha < \frac{\pi}{6},\ \ r\'(\alpha)>0.$ Dla $ \alpha > \frac{\pi}{6},\ \ r\'(\alpha)<0.$ $ \alpha* = \frac{\pi}{6}.$ Dla miary k膮ta $ 2\alpha* = 2\cdot \frac{\pi}{6}= \frac{\pi}{3}$ - d艂ugo艣膰 promienia okr臋gu wpisanego w tr贸jk膮t r贸wnoramienny jest najwi臋ksza i wynosi $ r*= \frac{1}{3}\sqrt{P\sqrt{3}},$ co potwierdza, 偶e d艂ugo艣膰 promienia okr臋gu wpisanego w tr贸jk膮t r贸wnoboczny jest r贸wna $ r*= \frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3}h $ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-04-20 20:13:09 przez janusz78 |
szymko post贸w: 30 | 2016-04-21 00:42:28 Ja pr贸bowa艂em zrobi膰 to tak: 2b to podstawa, a to rami臋 tr贸jk膮ta $P=\frac{1}{2}a^{2}sin(2\alpha)$ $r=\frac{2P}{2a+2b}$ $sin(\alpha)=\frac{b}{a}\Rightarrow asin(\alpha)=b$ $r(\alpha)=\frac{a^{2}sin(2\alpha)}{2a+2asin(\alpha)}$ $r\'(\alpha)=\frac{2a^{2}cos(2\alpha)(2a+2asin(\alpha)-2acos(\alpha)(a^{2}sin(2\alpha))}{(2a^{2}+2asin(\alpha))^{2}}$ $r\'(\alpha)=\frac{-sin^{3}(\alpha)-2sin^{2}(\alpha)+1}{(2a^{2}+2asin(\alpha))^{2}}$ Na tym si臋 zatrzyma艂em i mi nic nie wychodzi dalej tak jak powinno |
tumor post贸w: 8070 | 2016-04-21 09:34:16 Liczba $a$ nie jest sta艂膮 w Twoim zadaniu, to $a(\alpha)$. Sta艂膮 jest P. Wobec tego licz膮c pochodn膮 po $\alpha$ z $a$ nale偶y liczy膰 jak z FUNKCJI $a$. Mo偶esz ze wzoru na pole wyliczy膰 $a$, podstawi膰 do wzoru $r(\alpha)$, co jednak znacz膮co wz贸r skomplikuje. Ja robi膮c to zadanie u偶y艂em uj臋cia mo偶liwie prostego, bez komplikacji rachunkowych, bo ja rachunk贸w nie lubi臋. |
szymko post贸w: 30 | 2016-04-21 13:34:31 Dzi臋ki wielki, teraz ju偶 wszystko wiem |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj