Stereometria, zadanie nr 5770
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
szwelx post贸w: 7 |  2016-05-04 15:14:19Romb o boku d艂ugo艣ci a obraca si臋 doko艂a jednej z przek膮tnych. Wyznacz pole tego spo艣r贸d takich romb贸w, dla kt贸rego obj臋to艣膰 otrzymanej bry艂y jest najwi臋ksza. Bry艂a to z艂膮czone podstawami sto偶ki, a ich obj臋to艣膰 to podwojona obj臋to艣膰 jednego sto偶ka o promieniu r i wysoko艣ci h. Je偶eli si臋 nie myl臋, to teraz powinienem wyznaczy膰 wz贸r na obj臋to艣膰 tej bry艂y w zale偶no艣ci od d艂ugo艣ci boku rombu, ale mam z tym problem. Pr贸bowa艂em z pitagorasa i przekroju osiowego sto偶ka wyznaczy膰 $r^{2}=a^{2}-h^{2}$, podstawi膰 do wzoru na obj臋to艣膰 bry艂y, a nast臋pnie policzy膰 pochodn膮 i znale藕膰 ekstremum, ale wysz艂a mi f. liniowa z minimum... |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-04 15:22:35 Gdy jedna przek膮tna jest $d$, jej po艂owa to $\frac{d}{2}$, to po艂owa drugiej przek膮tnej wynosi $\sqrt{a^2-(\frac{d}{2})}$. Niech zatem wysoko艣ci膮 sto偶ka jest $\frac{d}{2} $ Obj臋to艣膰 sto偶ka to $\frac{1}{3}*\pi r^2h=\frac{1}{3}*\pi (a^2-(\frac{d}{2})^2)*\frac{d}{2}$ Oczywi艣cie szukamy maksimum dla 0<d<2a. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-05-04 15:45:45 przez tumor |
szwelx post贸w: 7 | 2016-05-04 15:44:04 Jest r贸偶nica czy b臋dziemy szuka膰 maksimum d dla sto偶ka (wz贸r kt贸ry poda艂e艣) czy dla otrzymanej bry艂y czyli dla $V=\frac{2}{3}\pi*(a^{2}-\frac{d}{4}^{2})*\frac{d}{2}$? Pochodna podanego przez Ciebie wzoru jest r贸wna $V\'=-\frac{\pi}{8}*d^{2}+\frac{\pi}{6}a^{2}$? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-04 15:52:29 Nie艂adnie powy偶ej napisa艂em, niezbyt jasno. Nie ma znaczenia, czy liczymy maksymaln膮 obj臋to艣膰 jednego sto偶ka czy dw贸ch, bo w艂a艣nie wtedy ca艂o艣膰 b臋dzie mie膰 najwi臋ksz膮 obj臋to艣膰, gdy pojedynczy sto偶ek b臋dzie j膮 mie膰. Pochodna z $\frac{a^2\pi}{6}*d-\frac{\pi}{24}*d^3$ wynosi tak jak piszesz $\frac{a^2\pi}{6}-\frac{\pi}{8}*d^2$. Pomno偶enie ca艂o艣ci przez 2 da te偶 dwa razy wi臋ksz膮 pochodn膮, co jednak pozostaje bez wp艂ywu na lokalizacj臋 ekstrem贸w. W obu przypadkach otrzymamy takie samo $d$ (co zreszt膮 mo偶esz sobie przeliczy膰). |
szwelx post贸w: 7 | 2016-05-04 16:30:02 Wi臋c miejsca zerowe pochodnej to $\pm\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ przy czym wyra偶enie z + jest maksimum i to dla niego obj臋to艣膰 bry艂y jest najwi臋ksza? Szukane pole rombu to ju偶 jest kwestia policzenia drugiej przek膮tnej z pitagorasa i podstawienie ich dw贸ch pod wz贸r na pole rombu (po艂owa iloczynu przek膮tnych)? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-04 16:35:08 Tak. |
szwelx post贸w: 7 | 2016-05-04 16:47:35 Ok. Dzi臋ki za pomoc |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj