logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Stereometria, zadanie nr 5770

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

szwelx
postów: 7
2016-05-04 15:14:19

Romb o boku długości a obraca się dokoła jednej z przekątnych. Wyznacz pole tego spośród takich rombów, dla którego objętość otrzymanej bryły jest największa.

Bryła to złączone podstawami stożki, a ich objętość to podwojona objętość jednego stożka o promieniu r i wysokości h.
Jeżeli się nie mylę, to teraz powinienem wyznaczyć wzór na objętość tej bryły w zależności od długości boku rombu, ale mam z tym problem. Próbowałem z pitagorasa i przekroju osiowego stożka wyznaczyć $r^{2}=a^{2}-h^{2}$, podstawić do wzoru na objętość bryły, a następnie policzyć pochodną i znaleźć ekstremum, ale wyszła mi f. liniowa z minimum...


tumor
postów: 8085
2016-05-04 15:22:35

Gdy jedna przekątna jest $d$, jej połowa to $\frac{d}{2}$, to połowa drugiej przekątnej wynosi $\sqrt{a^2-(\frac{d}{2})}$.
Niech zatem wysokością stożka jest $\frac{d}{2} $

Objętość stożka to
$\frac{1}{3}*\pi r^2h=\frac{1}{3}*\pi (a^2-(\frac{d}{2})^2)*\frac{d}{2}$

Oczywiście szukamy maksimum dla 0<d<2a.



Wiadomość była modyfikowana 2016-05-04 15:45:45 przez tumor

szwelx
postów: 7
2016-05-04 15:44:04

Jest różnica czy będziemy szukać maksimum d dla stożka (wzór który podałeś) czy dla otrzymanej bryły czyli dla $V=\frac{2}{3}\pi*(a^{2}-\frac{d}{4}^{2})*\frac{d}{2}$? Pochodna podanego przez Ciebie wzoru jest równa $V'=-\frac{\pi}{8}*d^{2}+\frac{\pi}{6}a^{2}$?


tumor
postów: 8085
2016-05-04 15:52:29

Nieładnie powyżej napisałem, niezbyt jasno.

Nie ma znaczenia, czy liczymy maksymalną objętość jednego stożka czy dwóch, bo właśnie wtedy całość będzie mieć największą objętość, gdy pojedynczy stożek będzie ją mieć.

Pochodna z $\frac{a^2\pi}{6}*d-\frac{\pi}{24}*d^3$ wynosi tak jak piszesz
$\frac{a^2\pi}{6}-\frac{\pi}{8}*d^2$.
Pomnożenie całości przez 2 da też dwa razy większą pochodną, co jednak pozostaje bez wpływu na lokalizację ekstremów. W obu przypadkach otrzymamy takie samo $d$ (co zresztą możesz sobie przeliczyć).


szwelx
postów: 7
2016-05-04 16:30:02

Więc miejsca zerowe pochodnej to $\pm\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ przy czym wyrażenie z + jest maksimum i to dla niego objętość bryły jest największa? Szukane pole rombu to już jest kwestia policzenia drugiej przekątnej z pitagorasa i podstawienie ich dwóch pod wzór na pole rombu (połowa iloczynu przekątnych)?


tumor
postów: 8085
2016-05-04 16:35:08

Tak.


szwelx
postów: 7
2016-05-04 16:47:35

Ok. Dzięki za pomoc

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj