Ci膮gi, zadanie nr 5772
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
netvlc post贸w: 9 |  2016-05-05 08:43:03Witam, mam takie zadanko: zbadaj monotoniczno艣膰 danego ci膮gu $ a_{n} $ , gdzie n$ \in $ $ N_{+} $. Nast臋pnie wyznacz najwi臋ksz膮 liczb臋 a i najmniejsz膮 liczb臋 b, dla kt贸rych ka偶dy wyraz $ a_{n} $ ci膮gu spe艂nia warunek a$\le$ $ a_{n} $ $ \le $ b $ a_{n} $=$ \frac{-5-2n}{n+1} $ Monotoniczno艣膰 sprawdzi艂em w spos贸b nast臋puj膮cy: najpierw obliczy艂em $ a_{n+1} $, a nast臋pnie odj膮艂em od $ a_{n+1} $ $ a_{n} $ i wysz艂o mi, 偶e $ \frac{3}{(n+2)(n+1)} > 0 $, czyli ci膮g jest rosn膮cy. Ale nie mam poj臋cia jak wyznaczy膰 te liczby a i b spe艂niaj膮ce tamten warunek, wygl膮da mi to na twierdzenie o trzech ci膮gach, ale jak si臋 tego u偶ywa? Prosz臋 wyt艂umaczenie. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-05 08:50:58 Je艣li ci膮g jest rosn膮cy, to z do艂u ogranicza go pierwszy wyraz, natomiast z g贸ry granica ci膮gu, o ile istnieje. Zatem $a=a_1$ $b=\lim_{n \to \infty}a_n=-2$ mieli艣cie granice? |
netvlc post贸w: 9 | 2016-05-05 08:58:07 Tak, granice by艂y, ale nie wpad艂bym na to nigdy, bardzo dzi臋kuj臋 :D |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-05 09:08:24 Czemu nie? Masz seri臋 coraz wi臋kszych liczb. Granica to taka liczba, 偶e wyrazy ci膮gu s膮 jej dowolnie bliskie (pocz膮wszy od pewnego n). Ale skoro ci膮g jest rosn膮cy, to wszystkie s膮 od granicy mniejsze i coraz bli偶sze. Zatem granica na pewno jest dla ci膮gu rosn膮cego wi臋ksza lub r贸wna od wszystkich wyraz贸w ci膮gu. Liczba b w zadaniu nie mo偶e by膰 przy tym mniejsza ni偶 granica, bo skoro wyrazy ci膮gu s膮 dowolnie bliskie granicy, to przekroczy艂yby w贸wczas b, to przeczy warunkom zadania. Zatem b musi by膰 granic膮 ci膮gu. Natomiast oczywi艣cie pierwszy wyraz jest najmniejszy, wi臋c wszystkie spe艂niaj膮 wtedy $a_1\le a_n$ --- Mo偶emy to 艂atwo uog贸lni膰. Je艣li $a_n$ jest dowolnym ci膮giem, kt贸ry ma granic臋, to mamy na pewno liczb臋, kt贸ra jest t膮 granic膮, a poza tym by膰 mo偶e istnieje najmniejszy wyraz ci膮gu, by膰 mo偶e najwi臋kszy wyraz ci膮gu, na pewno co najmniej jeden z tych dw贸ch istnieje, a by膰 mo偶e istniej膮 oba. Mamy zatem dwie lub trzy liczby (granica, wyraz najmniejszy, wyraz najwi臋kszy). Spo艣r贸d tych liczb najmniejsza to a, najwi臋ksza b, spe艂niaj膮 wtedy $a\le a_n \le b$ zgodnie z warunkami zadania. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-05-05 09:14:32 przez tumor |
netvlc post贸w: 9 | 2016-05-05 09:45:29 Je艣li mamy taki ci膮g $ a_{n} $: $ a_{n} $= $ \frac{2-n}{n} $ On jest malej膮cy, bo po odj臋ciu od $ a_{n+1} $ $ a_{n} $ wychodzi: $ \frac{-2}{n(n+1)} $, wiec w takim wypadku najwi臋kszym wyrazem tego ci膮gu jest $ a_{1} $, tak? I gdyby to mia艂a by膰 NAJWI臉KSZA liczba b (a nie jak pocz膮tkowo w tre艣ci zadania najmniejsza), to wtedy i tylko wtedy by艂by ni膮 wyraz $ a_{1} $? A w pozosta艂ych przypadkach, czy to ci膮g rosn膮cy czy malej膮cy przy warunku, 偶e a $\le a_{n} \le b $ najwi臋ksza liczb膮 a zawsze b臋dzie $ a_{1} $, a najmniejsz膮 liczb膮 b granica ci膮gu? Odpowied藕 do tego ci膮gu: najwi臋ksza liczba a to -1, a najmniejsza liczba b to 1. Dzi臋kuj臋 tak偶e za po艣wi臋cony czas, jestem bardzo wdzi臋czny. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-05-05 09:49:33 przez netvlc |
netvlc post贸w: 9 | 2016-05-05 09:57:09 Mo偶e troch臋 przekombinowa艂em, chodzi mi o to, 偶e je艣li mamy ci膮g malej膮cy, to $ a_{1} $ przyjmuje najwi臋ksz膮 warto艣膰, to dlaczego nie jest to liczba b tylko a, skoro $ a_{n} $ ma by膰 mniejsze b膮d藕 r贸wne b? |
tumor post贸w: 8070 | 2016-05-05 20:30:08 Nie czytasz uwa偶nie. Je艣li ci膮g jest zbie偶ny (czyli ma granic臋), to ma co najmniej jedn膮 z po艣r贸d warto艣ci: - najmniejsz膮 - najwi臋ksz膮 Przy tym mo偶e mie膰 te偶 obie. Istniej膮 zatem trzy liczby lub dwie liczby. Je艣li s膮 trzy, to jest to granica, warto艣膰 najwi臋ksza i warto艣膰 najmniejsza. Je艣li s膮 dwie, to jest to granica i jednak z warto艣ci skrajnych. Z tych trzech liczb, nazwijmy je x,y,z umiesz wybra膰 najwi臋ksz膮? Pe艂ni ona rol臋 b. Umiesz wybra膰 najmniejsz膮? Pe艂ni rol臋 a. Tu nie pisz臋 o \"najmniejszym wyrazie ci膮gu\", kt贸ry mo偶e nie istnie膰. Pisz臋 o najmniejszej spo艣r贸d dw贸ch lub trzech liczb x,y,z. ---- Je艣li ci膮g nie jest malej膮cy, to $a_1$ wci膮偶 mo偶e by膰 wyrazem najwi臋kszym. ---- O co chodzi w ostatnim Twoim po艣cie nie wiem. Odnosisz si臋 do jakiego艣 mojego posta? |
netvlc post贸w: 9 | 2016-05-06 07:55:29 Prosz臋 nie zwraca膰 uwagi na tamten post. Ju偶 wszystko jasne, jeszcze raz serdecznie dzi臋kuj臋 :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj