logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Ciągi, zadanie nr 5772

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

netvlc
postów: 9
2016-05-05 08:43:03

Witam,
mam takie zadanko: zbadaj monotoniczność danego ciągu $ a_{n} $ , gdzie n$ \in $ $ N_{+} $. Następnie wyznacz największą liczbę a i najmniejszą liczbę b, dla których każdy wyraz $ a_{n} $ ciągu spełnia warunek a$\le$ $ a_{n} $ $ \le $ b

$ a_{n} $=$ \frac{-5-2n}{n+1} $

Monotoniczność sprawdziłem w sposób następujący:
najpierw obliczyłem $ a_{n+1} $, a następnie odjąłem od $ a_{n+1} $ $ a_{n} $ i wyszło mi, że $ \frac{3}{(n+2)(n+1)} > 0 $, czyli ciąg jest rosnący. Ale nie mam pojęcia jak wyznaczyć te liczby a i b spełniające tamten warunek, wygląda mi to na twierdzenie o trzech ciągach, ale jak się tego używa? Proszę wytłumaczenie.


tumor
postów: 8085
2016-05-05 08:50:58

Jeśli ciąg jest rosnący, to z dołu ogranicza go pierwszy wyraz, natomiast z góry granica ciągu, o ile istnieje.

Zatem $a=a_1$
$b=\lim_{n \to \infty}a_n=-2$

mieliście granice?




netvlc
postów: 9
2016-05-05 08:58:07

Tak, granice były, ale nie wpadłbym na to nigdy, bardzo dziękuję :D


tumor
postów: 8085
2016-05-05 09:08:24

Czemu nie? Masz serię coraz większych liczb. Granica to taka liczba, że wyrazy ciągu są jej dowolnie bliskie (począwszy od pewnego n). Ale skoro ciąg jest rosnący, to wszystkie są od granicy mniejsze i coraz bliższe. Zatem granica na pewno jest dla ciągu rosnącego większa lub równa od wszystkich wyrazów ciągu.
Liczba b w zadaniu nie może być przy tym mniejsza niż granica, bo skoro wyrazy ciągu są dowolnie bliskie granicy, to przekroczyłyby wówczas b, to przeczy warunkom zadania. Zatem b musi być granicą ciągu.

Natomiast oczywiście pierwszy wyraz jest najmniejszy, więc wszystkie spełniają wtedy $a_1\le a_n$


---

Możemy to łatwo uogólnić.

Jeśli $a_n$ jest dowolnym ciągiem, który ma granicę, to mamy na pewno liczbę, która jest tą granicą, a poza tym być może istnieje najmniejszy wyraz ciągu, być może największy wyraz ciągu, na pewno co najmniej jeden z tych dwóch istnieje, a być może istnieją oba.

Mamy zatem dwie lub trzy liczby (granica, wyraz najmniejszy, wyraz największy). Spośród tych liczb najmniejsza to a, największa b, spełniają wtedy
$a\le a_n \le b$ zgodnie z warunkami zadania.

Wiadomość była modyfikowana 2016-05-05 09:14:32 przez tumor

netvlc
postów: 9
2016-05-05 09:45:29

Jeśli mamy taki ciąg $ a_{n} $:

$ a_{n} $= $ \frac{2-n}{n} $

On jest malejący, bo po odjęciu od $ a_{n+1} $ $ a_{n} $ wychodzi: $ \frac{-2}{n(n+1)} $, wiec w takim wypadku największym wyrazem tego ciągu
jest $ a_{1} $, tak? I gdyby to miała być NAJWIĘKSZA liczba b (a nie jak początkowo w treści zadania najmniejsza), to wtedy i tylko wtedy byłby nią wyraz $ a_{1} $? A w pozostałych przypadkach, czy to ciąg rosnący czy malejący przy warunku, że a $\le a_{n} \le b $ największa liczbą a zawsze będzie $ a_{1} $, a najmniejszą liczbą b granica ciągu? Odpowiedź do tego ciągu: największa liczba a to -1, a najmniejsza liczba b to 1.
Dziękuję także za poświęcony czas, jestem bardzo wdzięczny.

Wiadomość była modyfikowana 2016-05-05 09:49:33 przez netvlc

netvlc
postów: 9
2016-05-05 09:57:09

Może trochę przekombinowałem, chodzi mi o to, że jeśli mamy ciąg malejący, to $ a_{1} $ przyjmuje największą wartość, to dlaczego nie jest to liczba b tylko a, skoro $ a_{n} $ ma być mniejsze bądź równe b?


tumor
postów: 8085
2016-05-05 20:30:08

Nie czytasz uważnie.

Jeśli ciąg jest zbieżny (czyli ma granicę), to ma co najmniej jedną z pośród wartości:
- najmniejszą
- największą
Przy tym może mieć też obie.
Istnieją zatem trzy liczby lub dwie liczby.
Jeśli są trzy, to jest to granica, wartość największa i wartość najmniejsza.
Jeśli są dwie, to jest to granica i jednak z wartości skrajnych.

Z tych trzech liczb, nazwijmy je x,y,z umiesz wybrać największą? Pełni ona rolę b. Umiesz wybrać najmniejszą? Pełni rolę a. Tu nie piszę o "najmniejszym wyrazie ciągu", który może nie istnieć. Piszę o najmniejszej spośród dwóch lub trzech liczb x,y,z.

----

Jeśli ciąg nie jest malejący, to $a_1$ wciąż może być wyrazem największym.

----

O co chodzi w ostatnim Twoim poście nie wiem. Odnosisz się do jakiegoś mojego posta?


netvlc
postów: 9
2016-05-06 07:55:29

Proszę nie zwracać uwagi na tamten post.

Już wszystko jasne, jeszcze raz serdecznie dziękuję :)


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 28 drukuj