Prawdopodobie艅stwo, zadanie nr 5849
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
coetzee post贸w: 4 |  2016-09-08 13:02:21Cze艣膰, Mam problem z zadaniem z wykorzystaniem silni - nie jestem pewna odpowiedzi. Losowo wybieramy kule spo艣r贸d 10-ciu i umieszczamy je w dw贸ch urnach. Oblicz prawdopodobie艅stwo tego, 偶e zar贸wno w jednej, jak i w drugiej urnie, b臋dzie po 5 kul w ka偶dej. (Wiem, 偶e wszystkich mo偶liwo艣ci mamy 10!. Wydaje mi si臋, 偶e w dowolny spos贸b mo偶emy umie艣ci膰: 10!*9!*8!*7!*6!, a nast臋pne 5 w spos贸b taki, aby mie膰 pewno艣膰, 偶e 5 kul znalaz艂o si臋 w jednej z dw贸ch urn. Czy dalsza cz臋艣膰 to 10!*9!*8!*7!*6!*1*1*1*1*1/10!?) Prosz臋 o pomoc. |
tumor post贸w: 8070 | 2016-09-08 14:40:18 Olaboga. Silnia oznacza mno偶enie, to chyba wiesz. 5!=5*4*3*2*1 Stosuje si臋 j膮 w sytuacji szeregowania element贸w w pewn膮 kolejk臋. Je艣li mamy 5 element贸w, to wyb贸r pierwszego miejsca w kolejce nast臋puje na 5 sposob贸w, drugiego na 4 (wszak jeden element jest ju偶 w kolejce i nie u偶ywamy go ponownie), trzeciego na 3, czwartego na 2, a ostatni element ju偶 tylko na jeden spos贸b. 5*4*3*2*1. ----- W tym zadaniu wiele zale偶y od tego, jak przebiega losowanie. Je艣li rzecz ma si臋 tak: bierzemy kolejno dziesi臋膰 kul i w przypadku ka偶dej kuli losujemy, czy wpadnie do urny A czy do urny B, to przypadek ten jest dok艂adnie taki sam, co gdyby艣my rzucali 10 razy monet膮 (i ostatecznie chcemy mie膰 5 or艂贸w i 5 reszek). Je艣li 10 razy rzucamy monet膮, to wszystkich wynik贸w (ci膮g贸w or艂贸w i reszek o d艂ugo艣ci 10) mamy $2^{10}$. Ile natomiast mamy ci膮g贸w, w kt贸rych jest dok艂adnie 5 or艂贸w i 5 reszek? Mo偶na je policzy膰 kombinacjami. ${10 \choose 5}$ oznacza dok艂adnie liczb臋 sposob贸w, na kt贸re mo偶emy wybra膰 5 miejsc w ci膮gu 10-elementowym, na kt贸rych wstawimy or艂y (a w pozosta艂ych reszki) ${10 \choose 5}=\frac{10!}{5!5!}$ Mo偶na skorzysta膰 z permutacji z powt贸rzeniami. Wszystkich permutacji, gdy mamy 10 element贸w i ustawiamy je w kolejk臋, jest 10! Wyobra藕 sobie jednak, 偶e masz 10 element贸w (numerowanych od 1 do 10), ale 5 jest czerwonych, a 5 niebieskich. Mo偶na teraz przymkn膮膰 oko na numerki. Je艣li chcemy policzy膰, na ile sposob贸w da si臋 te elementy roz艂o偶y膰 KOLORAMI (czyli cho膰 pocz膮tkowo brali艣my pod uwag臋 ich numeracj臋, ale teraz przestajemy widzie膰 numery, a widzimy tylko kolory), zastosujemy wz贸r $\frac{n!}{a!b!c!...}$ (gdzie a,b,c,.. s膮 ilo艣ciami, w kt贸rych wyst臋puj膮 kolory) czyli $\frac{10!}{5!5!}$ zatem wynik taki sam jak z u偶yciem kombinacji. Og贸lnie prawdopodobie艅stwo wylosowania 5 or艂贸w, gdy losujemy 10 razy monet膮 (czyli wrzucenia 5 kul do pierwszej urny, gdy przy ka偶dej kuli losujemy urn臋, gdzie t臋 kul臋 umie艣ci膰), wynosi $\frac{\frac{10!}{5!5!}}{2^{10}}=\frac{6*7*8*9*10}{2*3*4*5*1024}$ ----- Je艣li wiemy, 偶e kula ma 50% szans na wpadni臋cie do urny A, mo偶emy prawdopodobie艅stwo tego, 偶e z 10 kul dok艂adnie 5 wpadnie do urny A liczy膰 ze schematu Bernoullego. Wz贸r m贸wi, 偶e prawdopodobie艅stwo to b臋dzie r贸wne ${10 \choose 5}(\frac{1}{2})^5(1-\frac{1}{2})^5$ co dok艂adnie odpowiada wcze艣niejszemu wynikowi. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj