logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Planimetria, zadanie nr 5894

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

iwka
postów: 128
2016-10-21 16:46:08

Na bokach AC i BC trójkąta ABC obrano punkty P i R. Niech S będzie punktem przecięcia się odcinków AR i BP. Oblicz, w jakim stosunku dzieli on każdy z tych odcinków, jeśli /AP/:/PC/=3:2, /BR/:/RC/=1:5.


tumor
postów: 8070
2016-10-21 17:24:33

Poprowadziłbym prostą przez C i S (przecina AB w punkcie D) oraz równoległe do niej przez punkt P (przecina AB w E) i przez R (przecina AB w F).

No i podobieństwo trójkątów:

$\frac{AE}{ED}=$ (łatwe)
$\frac{DF}{FB}=$ (łatwe)
łatwo też wpaść na $\frac{FR}{EP}=$
(zwłaszcza jak się najpierw policzy, jak się mają do CD)

$\frac{AE+ED}{DS}=\frac{AE+ED+DF}{FR}$
$\frac{DF+FB}{DS}=\frac{ED+DF+FB}{EP}$

Te zależności pozwalają policzyć, w jaki sposób punkty D,E,F dzielą odcinek AB. Gdy to mamy, to już z twierdzenia Talesa wszystko jest banalne. Oczywiście zawsze jest możliwość, że mi się pomieszały literki, za dużo ich. Po prostu domyślaj się, co chciałem przekazać, jeśli literki pozmieniałem miejscami :)



Wiadomość była modyfikowana 2016-10-22 21:02:22 przez tumor

iwka
postów: 128
2016-10-22 19:01:22

jak policzyć jak się mają do CS? :C


tumor
postów: 8070
2016-10-22 20:34:52

CD
Mówiłem, że mogłem gdzieś zamienić literkę, bo ich za wiele. :) Dobrze, że kontrolujesz.

Wiadomość była modyfikowana 2016-10-22 21:03:09 przez tumor

iwka
postów: 128
2016-10-23 12:22:21

okej, dzięki, policzyłam, ale co mam zrobić z tymi zależnościami? jak mam z nich policzyć?


tumor
postów: 8070
2016-10-23 17:06:24

Nie wiem, gdzie utknęłaś. Punkty D,E,F dzielą podstawę na fragmenty. Gdy wiemy, jak te fragmenty mają się do siebie (ja nie pamiętam ich proporcji teraz, a nie chce mi się zadania od nowa rozwiązywać), to możemy je zapisać za pomocą jednej niewiadomej, jako np
6x,2x,4x,x (oczywiście współczynniki zmyślam, chodzi tylko, że odcinki, na które podzielona jest podstawa, mamy w znanych proporcjach).

A gdy już to mamy, to korzystamy po prostu z twierdzenia Talesa.
AS:SR będzie taką proporcją, jak proporcja między pewnymi fragmentami podstawy.


iwka
postów: 128
2016-10-23 17:34:18

ale wszystkie te odcinki, których liczyłam stosunek mam zapisać w postaci jednej nieawiadomej? przeciez tak sie nie da, bo mam np. AE/ED=3/2, a DF/FB=5, ale to nie ma nic ze sobą wspólnego :C


tumor
postów: 8070
2016-10-23 18:24:57

$\frac{AE+ED}{DS}=\frac{AE+ED+DF}{FR}$
$\frac{DF+FB}{DS}=\frac{ED+DF+FB}{EP}$

Podzielmy pierwsze równanie przez drugie

$\frac{AE+ED}{DF+FB}=\frac{AE+ED+DF}{ED+DF+FB}*\frac{EP}{FR}$

ułamek $\frac{EP}{FR}$ umiesz policzyć, skoro
$\frac{EP}{CD}=\frac{3}{5}$
$\frac{CD}{FR}=\frac{6}{1}$

podstawmy AE=3a
ED=2a
DF=5b
FB=1b
mamy
$\frac{5a}{6b}=\frac{5a+5b}{2a+6b}*\frac{18}{5}$
$\frac{5a}{54b}=\frac{a+b}{a+3b}$

Wymnożenie tego na krzyż i rozwiązanie równania kwadratowego pozwala wyznaczyć zależność a od b.


iwka
postów: 128
2016-10-23 19:05:13

ok dziękuję, ale jak mam rozwiązać równanie z dwoma niewiadomymi $a^{2}$ i $b^{2}?$


tumor
postów: 8070
2016-10-23 19:14:53

Uznaj jedną z nich za niewiadomą, drugą za parametr.

Nie da się z tego wyliczyć i a i b. Da się wyznaczyć zależność a od b i tego potrzebujemy.

strony: 1 2

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 47 drukuj