logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Trygonometria, zadanie nr 5929

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

nice1233
postów: 143
2016-11-08 22:28:14

Wykaż, że jeśli a, b, c są długościami boków trójkąta oraz $a<\frac{b+c}{2}$ leżących naprzeciw tych boków,
spełniają nierówność $\alpha<\frac{\beta + \gamma}{2}$.

Z Twierdzenia Sinusów myślę bo mamy "naprzeciw tych boków" w zad.
Jakaś może wskazówka z czego skorzystać z tw. sinusów (jeśli oczywiście z niego trzeba korzystać)

Prosiłbym o dużą wskazówkę w rozw. tego zadania.


tumor
postów: 8070
2016-11-08 22:49:08

Treść jest przepisana tylko w połowie, powinno być, że $\alpha,\beta, \gamma$ są miarami kątów naprzeciwko boków a,b,c.

Po podzieleniu przez dwukrotność promienia okręgu opisanego mamy
$\frac{a}{2R}<\frac{\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}}{2}$
Z tw. Sinusów dostajemy
$sin\alpha<\frac{sin\beta+sin\gamma}{2}$
a ze wzoru na sumę sinusów
$sin\alpha<\frac{sin\beta+sin\gamma}{2}=\frac{2sin\frac{\beta+\gamma}{2}cos\frac{\beta-\gamma}{2}}{2}=sin\frac{\beta+\gamma}{2}cos\frac{\beta-\gamma}{2}$

czyli
$sin\alpha <sin\frac{\beta+\gamma}{2}cos\frac{\beta-\gamma}{2}$
wobec tego także
$sin\alpha <sin\frac{\beta+\gamma}{2}$
wobec tego
$\alpha < \frac{\beta+\gamma}{2}$

Korzystamy tu z faktu, że cosinus jest nie większy niż 1, dla kątów z pierwszej ćwiartki układu jest dodatni, a także że w pierwszej ćwiartce funkcja sinus jest rosnąca (czyli większy sinus odpowiada większemu kątowi)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 41 drukuj