Wyra偶enia algebraiczne, zadanie nr 5936
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
pomarancza37 post贸w: 9 |  2016-11-12 12:51:46Uzasadnij, 偶e je偶eli liczby a, b, c s膮 dodatnie i a + b + c = 2 to $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 4 \frac{1}{2}$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-11-12 12:52:30 przez pomarancza37 |
pm12 post贸w: 493 | 2016-11-12 13:18:14 Przypu艣膰my, 偶e ta nier贸wno艣膰 jest prawdziwa przy podanych za艂o偶eniach. B臋dziemy przekszta艂ca膰 t臋 nier贸wno艣膰 a偶 do uzyskania nier贸wno艣ci oczywistej. Wi臋c : $\frac{1}{a} $ + $\frac{1}{b} $ + $\frac{1}{c} $ >= (9/2) | * (a+b+c) (wiemy, 偶e (a+b+c) jest dodatnie, wi臋c znak nier贸wno艣ci si臋 nie zmieni) ($\frac{1}{a} $ + $\frac{1}{b} $ + $\frac{1}{c} $)(a+b+c) >= (9/2) * (a+b+c) Teraz przypominamy sobie, 偶e a+b+c=2. Zastosujemy t臋 r贸wno艣膰, ale tylko do prawej strony nier贸wo艣ci. ($\frac{1}{a} $ + $\frac{1}{b} $ + $\frac{1}{c} $)(a+b+c) >= 9 Rozpisuj膮c lew膮 stron臋 nier贸wno艣ci, mamy 1 + $\frac{b}{a}$ + $\frac{c}{a}$ + 1 + $\frac{a}{b}$ + $\frac{c}{b}$ + 1 + $\frac{a}{c}$ + $\frac{b}{c}$ >= 9 Nier贸wno艣膰 mo偶emy zapisa膰 nieco inaczej : 3 + ($\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$) + ($\frac{c}{b}$ + $\frac{b}{c}$) + ($\frac{a}{c}$ + $\frac{c}{a}$) >= 9 Czyli ($\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$) + ($\frac{c}{b}$ + $\frac{b}{c}$) + ($\frac{a}{c}$ + $\frac{c}{a}$) >= 6 I mamy co trzeba, bo ka偶da suma w pojedynczym nawiasie jest wi臋ksza b膮d藕 r贸wna 2. Dla ustalenia uwagi, poka偶臋, 偶e ($\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$) >= 2 (reszt臋 dowodzi si臋 tak samo) Chcemy pokaza膰, 偶e dla a,b > 0 zachodzi ($\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$) >= 2 (znowu, za艂贸偶my, 偶e ta nier贸wno艣膰 zachodzi i przekszta艂膰my j膮 do nier贸wno艣ci oczywistej) Wi臋c ($\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$) >= 2 | * (ab) $a^{2}$ + $b^{2}$ >= 2ab $a^{2}$ + $b^{2}$ - 2ab >= 0 $(a-b)^{2}$ >= 0, co ju偶 jest oczywiste (kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny) Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-11-12 13:33:57 przez pm12 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj