logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Równania i nierówności, zadanie nr 5950

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

7ohn
postów: 31
2016-11-22 15:11:09

Mam pytanie odnośnie odczytywania rozwiązań równań i nierówności.
Chodzi o odczytywanie z wykresu funkcji trygonometrycznych.
Z pewnego równiania, dziedzina,$ sinx \neq -1/2$, natomiast rozwiązaniem równania jest sinx = 1/2 lub -1/2
zatem -1/2 wyklucza.
Jak odczytać i zapisać to poprawnie jako rozwiązanie na wykresie iksów ?



tumor
postów: 8070
2016-11-22 15:22:06

Niezupełnie rozumiem, o co pytasz. Podaj równanie. Rozwiązaniem równania nie jest żaden sinus, a konkretne punkty x.

Ogólnie w rozwiązywaniu równań zaczyna się od dziedziny, a ewentualne rozwiązania na końcu muszą do dziedziny należeć.


7ohn
postów: 31
2016-11-22 15:41:35

Podałem wyniki sinusów otrzymanych z równania.
Dla jasności po kolei
$\frac{3cos^{2}x-sin^{2}x-2}{2sinx + 1} = 0$
tak jak napisałem 2sinx +1 różne od zera, więc sinx różne od -1/2.
Po wyliczeniu równiania wychodzi:
sinx =1/2 v sinx = -1/2.
Chodzi o wytłumaczenie w jaki sposób odczytać ten punkty na wykresie. W odpowiedziach zadania jest to pi/6 + 2k pi v 5pi/6 + 2k .

Czy wystarczy, w rozwiązaniu podać tylko pi /6 +2k pi ?

Wiadomość była modyfikowana 2016-11-22 15:43:12 przez 7ohn

tumor
postów: 8070
2016-11-22 16:11:14

Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny (o ile zadanie nic na ten temat nie mówi).

mamy $sinx\neq -\frac{1}{2}$
Co zazwyczaj rozwiązuje się dalej
$x\neq \frac{(9\pm 2)}{6}\pi +2k\pi$

(zapisane bardziej rozwlekle
$x\neq \frac{7}{6}\pi +2k\pi$
$x\neq \frac{11}{6}\pi +2k\pi) $

tak skończyliśmy opis założeń (dzidziny)

Rozwiązujemy teraz równanie i wychodzi po drodze $sinx=\pm \frac{1}{2}$
możemy na tym etapie odrzucić $sinx=-\frac{1}{2}$ (wprawdzie rozwiązywaliśmy założenia dalej, ale możemy odrzucić na podstawie tej informacji, którą też mieliśmy)

zostaje $sinx=\frac{1}{2}$ co nie jest ostatecznym rozwiązaniem. Musimy wypisać x, dla którego $sinx=\frac{1}{2}$, są to

$x=\frac{1}{6}\pi+2k\pi$
lub $x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi$

rozwiązań jest nieskończenie wiele. W odpowiedzi podajemy wszystkie. Nie wystarczy podanie części (jeśli polecenie nic na ten temat nie mówi)


-------

mogliśmy jednak rozwiązywać równani $sinx= \pm \frac{1}{2}$ bez sięgania do założeń, wyjdzie:
$x=\frac{1}{6}\pi+2k\pi$
lub $x=\frac{5}{6}\pi+2k\pi$
lub $x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi$
lub $x=\frac{11}{6}\pi+2k\pi$

dopiero teraz porównujemy rozwiązanie z założeniami, wobec tego odrzucamy dwie ostatnie linie, bo nie spełniają opisanych wcześniej warunków


7ohn
postów: 31
2016-11-22 19:48:32

tak, to było raczej jasne. Nie rozumiem założenia, że $x\neq(9\pm2)6\pi+2k\pi$
Skąd w liczniku $ 9\pm2 $?



tumor
postów: 8070
2016-11-22 21:24:05

7 lub 11 zapisuje się w skrócie $9\pm 2$


7ohn
postów: 31
2016-11-23 17:46:14

okej, załapałem, jeszcze mam pytanie. Mamy w dziedzinie 2 założenia 7pi/6 i 11pi/6. Czy wystarczą prawidłowym zapisem będzie także do tego: $ \frac {{-5}}{6}\pi + 2k\pi \wedge \frac {{-\pi}}{6}\pi + 2k\pi, k\in Z$


tumor
postów: 8070
2016-11-23 22:20:34

Tak.

Najczęściej podaje się kąty z przedziału $[0,2\pi)$, ale jeśli funkcja jest okresowa, to zmiana ich o okres przecież nie zmienia wartości. Póki jest czytelnie, jest ok.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj