Geometria w uk艂adzie kartezja艅skim, zadanie nr 5959
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
wersza post贸w: 2 |  2016-11-27 18:17:131. Punkt A\' jest obrazem punktu A w jednok艂adno艣ci o 艣dorku w punkcie O. Wyznacz skal臋 k jednok艂adno艣ci, wiedz膮c 偶e |AA\'|=3|AO| 2. Uzasadnij, 偶e obrazem prostej w jednok艂adno艣ci jest prosta do niej r贸wnolegla. |
janusz78 post贸w: 820 | 2016-11-27 22:08:24 1. $ |AA\'| = |OA|+|OA\'|$ $ |OA| + |OA\'| = 3|OA|,$ $ |OA\'| = 2|OA|$ Skala jednok艂adno艣ci wynosi$ |s| = 2, $ czyli $ s = -2, $ lub $ s = 2.$ 2. Spos贸b pierwszy Musimy pokaza膰, 偶e - obrazem dowolnego punktu $ X $ nale偶膮cego do prostej $AB $jest punkt $ X\' = J_{O}^{s}(X) $ nale偶膮cy do prostej $A\'B\'.$ - ka偶dy punkt prostej $A\'B\'$ jest obrazem w tej jednok艂adno艣ci pewnego punktu prostej $AB.$ Przyjmijmy, 偶e punkt $X $ nale偶y do prostej $AB. $ Wektor $ \vec{AX} $ jest iloczynem wektora $ \vec{AB}$ przez pewn膮 liczb臋 rzeczywist膮 $ t $. St膮d wynika, 偶e $ \vec{A\'X\'} = s\vec{AX} = s(t\vec{AB})= t(s\vec{AB})= t\vec{A\'B\'}.$ To oznacza, 偶e punkt $ X\' $ nale偶y do prostej $A\'B\'.$ Je偶eli $X\' $ nale偶y do prostej $A\'B\'$, czyli spe艂nia warunek $\vec{A\'X\'} = t\vec{A\'B\'},$ to punkt $ X $ spe艂nia warunek $ \vec{AX} = t\vec{AB},$ czyli nale偶y do prostej $AB.$. Proste $ AB, \ \ A\'B\' $ s膮 wi臋c r贸wnoleg艂e. Spos贸b drugi Przyjmijmy, 偶e punkt $ O(0,0)$ jest pocz膮tkiem prostok膮tnego uk艂adu wsp贸艂rz臋dnych, a prosta ma r贸wnanie $ y = mx + n, \ \ m,n \in R.$ (1) Obrazem punktu $ X=(x,y) $w jednok艂adno艣ci $J_{O}^{s}$ jest punkt $X\'=(x\',y\') $ taki, 偶e $X\'= (sx, sy).$ Mo偶emy wi臋c napisa膰 $ \left\{ \begin{matrix} x\'=sx, \\ y\' = sy, \end{matrix}\right.$ $\left\{ \begin{matrix}x= \frac{1}{s} x,\' \\ y = \frac{1}{s} y.\' \end{matrix}\right.$ Obrazem prostej (1) jest figura o r贸wnaniu $\frac{1}{s}y\' = m\cdot \frac{1}{s} x\' + b $ czyli $y\' = mx\' +sb $ R贸wnanie to mo偶emy zapisa膰 jako $ y = mx +sb. $ Jest to r贸wnanie prostej r贸wnoleg艂ej do prostej (1) (bo proste maj膮 ten sam wsp贸艂czynnik kierunkowy $m).$ Przyjmijmy teraz, 偶e prosta $ AB $ ma r贸wnanie $ x = c $ dla pewnego $ c\in R. $ Wtedy obrazem jej jest figura o r贸wnaniu $ \frac{1}{s}x\' = c, \ \ x\' = sc,$ kt贸r膮 zapisujemy $x = sc.$ Figura ta przedstawia prost膮 r贸wnoleg艂膮 do prostej o r贸wnaniu $ x = c,$ czyli prostej $ AB. $ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-11-27 22:13:31 przez janusz78 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj