Planimetria, zadanie nr 5975
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
maciejo117 post贸w: 2 |  2016-12-11 18:19:19Witam, prosz臋 o pomoc i ewentualne wskaz贸wki do tego oto zadania: Tr贸jk膮t ABC jest wpisany w okr膮g. Przez punkt A poprowadzono styczn膮 do okr臋gu, a przez punkt B prost膮 r贸wnoleg艂膮 do tej stycznej. Prosta ta przecina prost膮 zawieraj膮c膮 bok AC w punkcie D. Wyka偶, 偶e d艂ugo艣膰 boku AB jest 艣redni膮 geometryczn膮 d艂ugo艣ci odcink贸w AC i AD. |
rockstein post贸w: 33 | 2016-12-15 16:22:31 Niestety nie mam czasu na sporz膮dzenie rysunku, wi臋c 艣ledz膮cy rozumowanie proszony jest sporz膮dzi膰 i uzupe艂nia膰 w艂asny szkic post臋puj膮c zgodnie ze wskaz贸wkami w moim tek艣cie. We藕my tr贸jk膮t ostrok膮tny ABC i opiszmy na nim okr膮g o 艣rodku O. K膮t przy wierzcho艂ku A to $\alpha$, k膮t przy wierzcho艂ku B to $\beta$, k膮t przy wierzcho艂ku C to 180 - ($\alpha$ + $\beta$). Po艂膮czmy punkt O z wierzcho艂kami A, B, C. Otrzymamy trzy tr贸jk膮ty r贸wnoramienne o ramionach r贸wnych promieniowi okr臋gu opisanego. Z wierzcho艂ka A wyprowad藕my prost膮 p, styczn膮 do okr臋gu, kt贸ra b臋dzie oczywi艣cie prostopad艂a do promienia OA. Oznaczmy przez $\delta$ k膮t OAB oczywi艣cie r贸wny k膮towi OBA w tr贸jk膮cie OAB. Analogicznie k膮ty OBC i OCB przy podstawie BC tr贸jk膮ta OBC wynosz膮: $\beta$ - $\delta$. Analogicznie dla tr贸jk膮ta OAC k膮ty przy podstawie wynosz膮 $\angle$OCA = $\angle$OAC = $\alpha$ - $\delta$. Teraz z wierzcho艂ka B re贸jk膮ta ABC prowadz臋 prost膮 q r贸wnoleg艂膮 do prostej p. Przecina ona przed艂u偶enie boku AC w punkcie D. Rozpatruj膮c z kolei k膮ty tr贸jk膮ta BCD otrzymamy: $\angle$DCB = $\alpha$ + $\beta$, $\angle$CBD = 90 - $\beta$ - $\delta$, $\angle$BDC = 90 - $\alpha$ + $\delta$. Wyra偶aj膮c k膮t przy wierzcho艂ku C jako sum臋 okre艣lonych powy偶ej k膮t贸w $\angle$ACO i $\angle$BCO otrzymuj臋: $\angle$ACB = $\alpha$ - $\delta$ +$\beta$ - $\delta$, sk膮d: $\alpha$ + $\beta$ - 2*$\delta$ = 180 - ($\alpha$ + $\beta$). Z tej ostatniej zale偶no艣ci wyliczam $\delta$ = $\alpha$ +$\beta$ - 90. Podstawiaj膮c t臋 warto艣膰 do wyliczonej wy偶ej wielko艣ci $\angle$BDC otrzymuj臋 $\angle$BDC = $\beta$. Wynika st膮d, 偶e tr贸jk膮ty ABC i ABD s膮 podobne (cecha k,k,k). Zatem AB/AC = AD/AB, sk膮d bezpo艣rednio wynika teza: (AB)^2 = (AC)*(AD). W przypadku tr贸jk膮ta ABC rozwartok膮tnego, gdy punkt O le偶y na zewn膮trz obrysu tr贸jk膮ta, rozumowanie przebiega analogicznie. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2016-12-15 21:29:57 przez rockstein |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj