logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 5986

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dorczu
postów: 6
2016-12-29 00:00:36

Witam.


Czy ktoś powie mi jak rozwiązać to zadanie?

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź postawy ma długość a, a przekątna ściany bocznej tworzy z drugą ścianą boczną kąt $\alpha$. Wyznacz objętość tego graniastosłupa.

Z góry dziękuję.

EDIT: Przepraszam, za zły dział ale zapomniałem zmienić...

Wiadomość była modyfikowana 2016-12-29 13:16:40 przez dorczu

janusz78
postów: 820
2016-12-29 15:05:04

Rysunek.

$ |V| = P_{p}\cdot h, \ \ P_{p}= \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ - pole trójkąta równobocznego.

Z trójkąta równoramiennego, którego ramionami są przekątne dwóch sąsiednich ścian graniastosłupa, a podstawą - krawędź podstawy graniastosłupa - obliczamy długość przekątnej $d $ ściany bocznej graniastosłupa.

$ d = \frac{a}{2\sin(\alpha/2)}.$

Ze wzoru Pitagorasa zastosowanego do trójkąta prostokątnego ściany bocznej graniastosłupa - znajdujemy długość krawęzi bocznej graniastosłupa (równą jego wysokości).

$ h =\sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4\sin^2(\alpha/2)}-a^2} = \frac{a\sqrt{1-4\sin^2(\alpha/2)}}{2\sin(\alpha/2)} $ (2)

Podstawiamy $ P_{p}$ i $ h $ do wzoru na $ |V|.$

$ |V| = \frac{a^3\sqrt{3(1- 4\sin^2(\alpha/2))}}{8\sin(\alpha/2)}.$

Założenie

$ 4\sin^2(\alpha/2)-1 > 0 , \ \ 0 < \alpha < \frac{\pi}{3}.$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj