logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Funkcje, zadanie nr 6004

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

nice1233
postów: 131
2017-01-19 16:00:34

Wykaż, że funkcja określona wzorem $f(x) = \frac{4x^{2} + 2x + 4}{x^{2} + 1} $. gdzie x należy do liczb rzeczywistych przyjmuje najmniejszą wartość równą 3 zaś największą 5.

Jak to rozwiązać ? Nie korzystając z delty. Dzięki


janusz78
postów: 820
2017-01-20 12:44:53

Wyróżnik $ \Delta $ nie ma tu nic wspólnego ze znalezieniem najmniejszej i największej wartości funkcji, która odpowiednio jest jej minimum i maksimum lokalnym.

Wykres funkcji posiada asymptotę poziomą obustronną o równaniu $ y = 4.$

$ \lim_{x\to\pm \infty}\frac{4x^2 +2x +4}{x^2 +1}= \lim_{x\to \pm \infty} \left( 4 + \frac{2x}{x^2+1}\right) = 4 + 0 = 4. $

Znajdujemy ekstrema lokalne funkcji $ f.$

$ f'(x) = \frac{(8x +2)(x^2+1)- (4x^2 +2x+4)2x}{(x^2+1)^2}.$

$ f'(x) = \frac{-2x^2 +2}{(x^2+1)^2} = \frac{-2(x^2-1)}{(x^2+1)^2} = \frac{-2(x+1)(x-1)}{(x^2+1)^2}.$

$ f'(x)<0 $ dla $ x\in ( -\infty, -1)\cup (1, +\infty), \ \ f\downarrow. $


$ f'(x)>0 $ dla $ x\in ( -1,\ \ 1), \ \ f\uparrow. $

$ f_{min.lok.} = f(-1) = 3, \ \ f_{max.lok.}= f(1)=5.$


Wiadomość była modyfikowana 2017-01-20 12:46:54 przez janusz78
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 27 drukuj