logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Trygonometria, zadanie nr 6005

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dzordz98
postów: 35
2017-01-19 20:35:52

oblicz bez użycia tablic i kalkulatora:

1) sin6-sin42-sin66+sin78

pogrupowałam sin6-sin66 i sin78-sin42 wyszlo mi s tego sin18-sin54 dalej próbowałam to liczyć ale nie wychodzą mi z tego żadne znane kąty


2) 16*sin10*sin30*sin50*sin70
tego już w ogóle nie wiem


tumor
postów: 8085
2017-01-19 21:29:27

1)
ogólnie warto wiedzieć, że da się (nawet nietrudnym rachunkiem) policzyć $sin3^\circ$.
Wszystkie podane kąty są wielokrotnością 3 stopni, czyli zawsze mamy jakiś sposób.

W tym jednak przypadku może nam wystarczyć $sin36^\circ$.

Stwórz trójkąt równoramienny ABC o kącie 36 stopni przy C, czyli 72 stopnie przy A i B.
Następnie niech punkt D leżący na AC będzie taki, że ABD podobny do ABC i kąt przy B ma 36 stopni. Czyli BCD równoramienny, czyli
AB=BD=CD
Przyjmijmy
AB=BD=CD=1, bo nie wpłynie to w żaden sposób na kąty.
Oznaczmy AC=x
wtedy AD=x-1

Z podobieństwa trójkątów mamy
$\frac{x}{1}=\frac{1}{x-1}$
czyli $x(x-1)=1$
$x^2-x-1=0$
$\Delta=..$.

Mając x możemy już łatwo policzyć wysokość trójkąta, wartości funkcji dla 36 stopni. Mając $36^\circ$ i oczywiście $30^\circ$ możemy policzyć wartości funkcji dla kąta 6 stopni.

Przy okazji dostajemy też kąt 72 stopnie, gdyby tak Ci był potrzebny do czegoś.


2)
$
16*sin10*sin30*sin50*sin70=
16*\frac{2sin10cos10}{2cos10}*sin30*sin50*sin70
=\frac{4}{cos10}*sin20*cos20*sin50=
\frac{2}{cos10}*sin40*cos40=\frac{sin80}{cos10}=1$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 16 drukuj