logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Granica funkcji, zadanie nr 6006

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

emix000
postów: 28
2017-01-19 22:17:41

czesc! mam pare zadan do sprawdzenia.
1)$\lim_{x \to \infty}\frac{n}{n^{2}+1}*cos\frac{1}{n}
=\lim_{x \to \infty}\frac{n}{n^{2}(1+\frac{1}{n^{2}})}*cos\frac{1}{n}$

cos zbiega do 1 bo cos z 0 = 1? a ułamek zbiega do 0? czyli wynik jest 0

2)$\lim_{x \to \infty}(\frac{2n^{2}+1}{n^{2}+1})^{n^{2}}=e^{\infty}$?

3)$\lim_{x \to 1}\frac{tg(x-1)^{2}}{x-1}=\lim_{x \to 1}\frac{tg(x-1)(x-1)}{x-1}=0?$
dolny x-1 sie skroci z gornym x-1 wiec po podstawieniu 1 pod drugie gorne x-1 wychodzi 0 a tg z 0=0 wiec wszystko dazy do 0. dobrze mysle?


tumor
postów: 8085
2017-01-20 07:38:20

1)
Wystarczy, że cos jest ograniczony. Granica iloczynu dwóch ciągów, z których jeden ma granicę 0, a drugi jest ograniczony, jest 0.

2) nie trzeba tam mieszać e. Zamieszalibyśmy e, gdyby nie ta 2 w liczniku. Skoro wnętrze nawiasu ma granicę 2, a wykładnik za nawiasem $\infty$, to granicą ciągu jest po prostu $\infty$ (czyli to co się dzieje z 2 gdy podnosimy do coraz wyższych potęg)

3) należy do końca życia pamiętać
$\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1$, stąd także
$\lim_{x \to 0}\frac{x}{sinx}=\lim_{x \to 0}\frac{tgx}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{x}{tgx}=1$

W przypadku tego zadania robimy

$\lim_{x \to 1}\frac{tg(x-1)^2}{x-1}=
\lim_{x \to 1}(x-1)\frac{tg(x-1)^2}{(x-1)^2}=0*1$


----

Uwaga: chyba mylisz x z n. Gdybyśmy byli ściśli, to przy zapisie
$\lim_{x \to \infty}(\frac{2n^2+1}{n^2+1})^{n^2}$ granicą jest $(\frac{2n^2+1}{n^2+1})^{n^2}$, bo całe wyrażenie jest stałą, a x się w niej wcale nie pojawia. Zgadywałem, że albo miało być x w funkcji, albo n pod znakiem lim, w każdym razie ta sama litera, a nie dwie różne.


emix000
postów: 28
2017-01-20 15:13:57

tak w 2 przykladzie pomylilem x z n. Mialo byc $\lim_{n \to \infty}$
a co do 3 przykładu to czy
$\lim_{x \to 1}\frac{\frac{tg(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}}*(x-1)^{2}}{x-1}=[\frac{1*0}{1}]=[\frac{0}{1}]=0$ jest rownoznaczne z tym co ty napisales?
z gory wielkie dzieki za pomoc


tumor
postów: 8085
2017-01-20 19:07:40

Nie jest równoznaczne, bo z niejasnych przyczyn uznajesz za 1 wyrażenie $(x-1)$, a przecież przy $x\to 1$ wyrażenie $(x-1)$ ma wartość 0.


emix000
postów: 28
2017-01-20 21:15:41

wyrażenie z mianownika (x-1) uznaje za 1 ponieważ sie skróci z jednym z $(x-1)^{2}$ z licznika, natomiast ułamek $\frac{tg(x-1)^{2}}{x-1^{2}}$dąży do 1. I pozostaje $[\frac{1*(x-1)}{1}]$ i po podstawieniu pod x 1 wychodzi $[\frac{1*0}{1}]$ czyli 0.


tumor
postów: 8085
2017-01-20 21:22:59

Ok. W takim razie napisałbym tylko 1*0, ale na jedno wyjdzie. Może tak być. (Natomiast skoro dla mnie to było nieczytelne, może być też dla sprawdzającego, czyli proponuję wykonać to skracanie, a dopiero potem napisać symbol)


emix000
postów: 28
2017-01-20 21:57:02

tak wiem, dziekuje wielkie za pomoc ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 18 drukuj