logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Granica funkcji, zadanie nr 6038

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

iwka
postów: 128
2017-03-06 18:16:50

Wykaż, że liczba g=$\frac{1}{3}$nie jest granicą ciągu o wzorze ogólnym $a_{n}=\frac{1}{3n}$. Wyszlo mi cos takiego: n> $\frac{-1}{3E-1}$to jest źle?


tumor
postów: 8085
2017-03-07 09:44:54

Nie jest źle, chodzi o zrozumienie, co robisz. :)

Żeby liczba była granicą, wyrazy ciągu muszą być "w większości" w jej pobliżu. Jak byśmy nie zawęzili przedziału w pobliżu, wciąż wszystkie wyrazy poza co najwyżej skończoną ilością muszą w nim być.

Można:
$\frac{1}{3}-\epsilon>\frac{1}{3n}$
czyli
$n>\frac{1}{1-3\epsilon}$
czyli dokładnie to, co piszesz.
Ale co to znaczy? Jeśli mamy pewien z góry dobrany $\epsilon$ (dodatni, a przy tym bliski 0), jeśli następnie wybierzemy przedział $(\frac{1}{3}-\epsilon, \frac{1}{3}+\epsilon)$, to nieskończenie wiele wyrazów ciągu nie będzie w tym przedziale! Bo skoro
$n>\frac{1}{1-3\epsilon}$ jest prawdą dla nieskończenie wielu n (a jest)
to
$\frac{1}{3}-\epsilon>\frac{1}{3n}=a_n$ jest prawdą dla nieskończenie wielu $a_n$, czyli nieskończenie wiele wyrazów ciągu wypada poza przedział, o którym mówimy.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 97 drukuj