logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Geometria, zadanie nr 61

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

krychu
postów: 2
2010-04-09 12:38:07

Powierzchnia boczna walca jest prostokątem o przekątnych przecinających sie pod katem 60 stopni i długości 12. Oblicz objętość walca.


zorro
postów: 106
2010-04-10 10:27:16

Jeśli narysjesz ten prostokąt z dwiema przekątnymi i oznaczysz punkt ich przecięcia jako "P" to po lewej i prawej stronie od punktu "P" będzie po $60^{o}$. Zatem trójkąty po lewe i prawej stronie będą równoboczne. Stąd natychmiast widać, że:
H = $\frac{d}{2}$ (wysokość walca)
H = $\frac{12}{2}$ = 6
Podstawę prostokąta obliczymy np. z Tw. Pitagorasa:
$a^{2} = d^{2}-H^{2}$
$a^{2} = 12^{2}-6^{2} = 144-36 = 108$
$a = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$
bok "a" stanowi jednocześnie obwód koła podstawy walca:
$a = 6\sqrt{3} = 2\pi r$
czyli:
$r = \frac{6\sqrt{3}}{2\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{\pi}$
Teraz już można obliczyć objętość:
$V = \pi r^{2}H$
$V = \pi (\frac{3\sqrt{3}}{\pi})^{2}\cdot6 = \frac{27\cdot6}{\pi}$
$V = \frac{162}{\pi}$

Gdyby przyjąć kąt przecięcia przekątnych (60 stopni) na górze i dole od punktu "P" wówczas górny i dolny trójkąt będzie równoboczny i natychmiast odczytamy a=6 i (z Tw. Pitagorasa) H=$6\sqrt{3}$.
Obliczamy r=$\frac{a}{2\pi}=\frac{3}{\pi}$
i objętość:
$V = \pi r^{2}H$
$V = \pi (\frac{3}{\pi})^{2}\cdot6\sqrt{3} = \frac{9\cdot6\sqrt{3}}{\pi}$
$V = \frac{54\sqrt{3}}{\pi}$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 82 drukuj