Liczby rzeczywiste, zadanie nr 6130
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mozaika post贸w: 7 |  2017-12-09 15:31:38Wyka偶, 偶e liczba $81^{n}-1$ jest podzielna przez 16 dla $n \in \mathbb{N}$. Wiem, 偶e $81^{n}-1=81^{n}-1^{n}$ niestety brak pomys艂u na dalsz膮 cz臋艣膰 rozwi膮zania. Prosz臋 o pomoc |
tumor post贸w: 8070 | 2017-12-09 18:56:38 To dam Ci ma艂y wyk艂ad, sk膮d si臋 bior膮 niekt贸re wzory skr贸conego mno偶enia. Wyobra藕 sobie, 偶e wyra偶enia postaci $1+x$ $1+x+x^2$ $1+x+x^2+x^3$ ... $1+x+x^2+...+x^{n-1}$ mno偶ysz przez $(1-x)$. Wyjdzie $1-x^2$ $1-x^3$ $1-x^4$ ... $1-x^{n}$ Czyli $(1+x+x^2+...+x^{n-1})(1-x)=(1-x^n)$ Je艣li podzielimy obie strony przez (1-x) dostaniemy wz贸r na sum臋 n pocz膮tkowych wyraz贸w ci膮gu geometrycznego o $a_1=1$ i q=x $1+x+x^2+...+x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}$ cho膰 oczywi艣cie mo偶na obie strony pomno偶y膰 przez dowolne inne $a_1$ i b臋dzie $a_1+a_1x+...+a_1x^{n-1}=a_1*\frac{1-x^n}{1-x}$ Wida膰, 偶e dzia艂a? (oczywi艣cie nie dla x=1). Je艣li natomiast wz贸r nieco przerobimy, zamiast $(1+x+x^2+...+x^{n-1})(1-x)=(1-x^n)$ mo偶emy napisa膰 $(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+a^{n-4}b^3+...+a^{3}b^{n-4}+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})(a-b)=a^n-b^n$ dla n=2 daje to wz贸r $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ dla n=3 b臋dzie $(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ dla og贸lnie ten akurat wz贸r zadzia艂a te偶 dla ka偶dego wy偶szego n. To znaczy, 偶e $a^n-b^n$ dla naturalnego n>1 ZAWSZE daje si臋 roz艂o偶y膰 na iloczyn dw贸ch nawias贸w zapisany wy偶ej. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj