logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 6130

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mozaika
postów: 7
2017-12-09 15:31:38

Wykaż, że liczba $81^{n}-1$ jest podzielna przez 16 dla $n \in \mathbb{N}$.

Wiem, że $81^{n}-1=81^{n}-1^{n}$ niestety brak pomysłu na dalszą część rozwiązania.
Proszę o pomoc


tumor
postów: 8070
2017-12-09 18:56:38

To dam Ci mały wykład, skąd się biorą niektóre wzory skróconego mnożenia.

Wyobraź sobie, że wyrażenia postaci
$1+x$
$1+x+x^2$
$1+x+x^2+x^3$
...
$1+x+x^2+...+x^{n-1}$
mnożysz przez $(1-x)$.
Wyjdzie
$1-x^2$
$1-x^3$
$1-x^4$
...
$1-x^{n}$

Czyli
$(1+x+x^2+...+x^{n-1})(1-x)=(1-x^n)$

Jeśli podzielimy obie strony przez (1-x) dostaniemy wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o $a_1=1$ i q=x
$1+x+x^2+...+x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}$
choć oczywiście można obie strony pomnożyć przez dowolne inne $a_1$ i będzie
$a_1+a_1x+...+a_1x^{n-1}=a_1*\frac{1-x^n}{1-x}$
Widać, że działa? (oczywiście nie dla x=1).

Jeśli natomiast wzór nieco przerobimy, zamiast
$(1+x+x^2+...+x^{n-1})(1-x)=(1-x^n)$
możemy napisać
$(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+a^{n-4}b^3+...+a^{3}b^{n-4}+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})(a-b)=a^n-b^n$

dla n=2 daje to wzór
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
dla n=3 będzie
$(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
dla ogólnie ten akurat wzór zadziała też dla każdego wyższego n.

To znaczy, że $a^n-b^n$ dla naturalnego n>1 ZAWSZE daje się rozłożyć na iloczyn dwóch nawiasów zapisany wyżej.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 81 drukuj