Liczby rzeczywiste, zadanie nr 6130

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mozaika postów: 7	2017-12-09 15:31:38 Wykaż, że liczba $81^{n}-1$ jest podzielna przez 16 dla $n \in \mathbb{N}$. Wiem, że $81^{n}-1=81^{n}-1^{n}$ niestety brak pomysłu na dalszą część rozwiązania. Proszę o pomoc

tumor postów: 8070	2017-12-09 18:56:38 To dam Ci mały wykład, skąd się biorą niektóre wzory skróconego mnożenia. Wyobraź sobie, że wyrażenia postaci $1+x$ $1+x+x^2$ $1+x+x^2+x^3$ ... $1+x+x^2+...+x^{n-1}$ mnożysz przez $(1-x)$. Wyjdzie $1-x^2$ $1-x^3$ $1-x^4$ ... $1-x^{n}$ Czyli $(1+x+x^2+...+x^{n-1})(1-x)=(1-x^n)$ Jeśli podzielimy obie strony przez (1-x) dostaniemy wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o $a_1=1$ i q=x $1+x+x^2+...+x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}$ choć oczywiście można obie strony pomnożyć przez dowolne inne $a_1$ i będzie $a_1+a_1x+...+a_1x^{n-1}=a_1*\frac{1-x^n}{1-x}$ Widać, że działa? (oczywiście nie dla x=1). Jeśli natomiast wzór nieco przerobimy, zamiast $(1+x+x^2+...+x^{n-1})(1-x)=(1-x^n)$ możemy napisać $(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+a^{n-4}b^3+...+a^{3}b^{n-4}+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})(a-b)=a^n-b^n$ dla n=2 daje to wzór $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ dla n=3 będzie $(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ dla ogólnie ten akurat wzór zadziała też dla każdego wyższego n. To znaczy, że $a^n-b^n$ dla naturalnego n>1 ZAWSZE daje się rozłożyć na iloczyn dwóch nawiasów zapisany wyżej.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj