Trygonometria, zadanie nr 6143
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
pm12 post贸w: 493 |  2018-01-17 15:15:11Okre艣li膰 najwi臋ksze oszacowanie dolne i najmniejsze oszacowanie g贸rne dla wyra偶enia sin$\alpha$ $\cdot$ sin$\beta$ $\cdot$ sin$\gamma$ , gdzie $\alpha, \beta, \gamma$ - k膮ty wewn臋trzne pewnego tr贸jk膮ta. |
tumor post贸w: 8070 | 2018-01-17 21:07:44 Mo偶na z u偶yciem rachunku r贸偶niczkowego, ale to m臋cz膮ce rachunki. Zamiast tego wyjd藕my od twierdzenia sinus贸w $ \frac{a}{sin\alpha}=\frac{c}{sin\gamma}=2R$ i pomn贸偶my skrajne wyra偶enia przez $sin\alpha sin\beta *c$ Mamy $ac*sin\beta=2R*\frac{c}{sin\gamma}*sin\alpha sin\beta sin\gamma$ czyli $\frac{P}{2}=R^2 sin\alpha sin\beta sin\gamma$ Przyjmuj膮c R=1 otrzymamy zagadnienie $\frac{P}{2}= sin\alpha sin\beta sin\gamma$ znalezienia kresu g贸rnego i dolnego pola tr贸jk膮ta wpisanego w okr膮g jednostkowy. Tu rozwi膮zanie jest intuicyjne. :) |
pm12 post贸w: 493 | 2018-01-18 00:52:03 Niestety, nie jest intuicyjne. |
tumor post贸w: 8070 | 2018-01-18 09:41:33 Oj tam. Robi膮c coraz bardziej rozwarty k膮t mo偶na zmniejsza膰 pole tr贸jk膮ta dowolnie (kresem, cho膰 nieosi膮gni臋tym, b臋dzie 0). Przy zwi臋kszaniu pola tr贸jk膮ta jest tylko nieco trudniej. Je艣li masz podstaw臋 tr贸jk膮ta ju偶 dan膮 (jako ci臋ciw臋 ko艂a), to 艂atwo dostrzec, 偶e najwi臋ksze pole b臋dzie mia艂 tr贸jk膮t r贸wnoramienny (o najwi臋kszej wysoko艣ci). Wyobra藕my sobie teraz, 偶e wybrali艣my jakikolwiek tr贸jk膮t r贸wnoramienny, kt贸ry nie jest r贸wnoboczny. Obracamy go tak, 偶eby podstaw膮 sta艂o si臋 jedno z ramion. Widzimy, 偶e teraz da si臋 zwi臋kszy膰 pole \"wyr贸wnuj膮c\" pozosta艂e boki. Czyli: a) je艣li mamy r贸偶noboczny, to istnieje r贸wnoramienny o tej samej podstawie i wi臋kszym polu b) je艣li r贸wnoramienny nie jest r贸wnoboczny, to istnieje tr贸jk膮t r贸wnoramienny o wi臋kszym ni偶 on polu c) zatem wynikiem musi by膰 r贸wnoboczny. ---- Mo偶na rzecz obliczy膰 rachunkiem r贸偶niczkowym jednej zmiennej wychodz膮c od faktu, 偶e rozwi膮zanie musi by膰 tr贸jk膮tem r贸wnoramiennym. Je艣li k膮t wpisany jest $\alpha$, to 艣rodkowy $2\alpha$. Po艂owa podstawy to $sin\alpha$, a wysoko艣膰 tr贸jk膮ta to $cos\alpha+1$. Mo偶emy zatem maksymalizowa膰 $sin\alpha(cos\alpha+1)$ Pochodna $cos\alpha(cos\alpha+1)-sin\alpha(sin\alpha)= 2cos^2\alpha+cos\alpha-1$ czyli r贸wnanie kwadratowe $t^2+t-1=0$, pochodna zeruje si臋 dla $t=cos\alpha=\frac{1}{2}$. Sprawdzamy, 偶e jest tam ekstremum. (Na dobr膮 spraw臋 wiemy, 偶e jest, bo tu kres musi by膰 osi膮gni臋ty) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj