logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Funkcje, zadanie nr 62

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mmagdzia34
postów: 3
2010-04-11 10:58:14

Dana jest funkcja określona wzorem f(x)={-x-4 dla x<-2
{-xkwadrat+2 dla x\in<-2;2>
{x-4 dla x>2
a)sporzadz jej wykres
b)ppdaj zbior wartosci funkcji
c)dla jakich argumentow wartosci funkcji sa wieksze od 1?
d)podaj ;pezrdzialy w ktorych funkcja jest rosnaca?


zorro
postów: 106
2010-04-12 02:38:35

a)wykres:
wykres skada się z 3 części.
1. od $-\infty$ do -2 (ale bez -2) to linia prosta malejąca nachylona pod kątem 45 stopni do osi OY(bo współczynnik przy x jest ujemny = -1). Prosta ta przechodzi przez pkt(-4,0) ponieważ dla x=-4 jest f(x)=0.
Lewostronna granica gdy x$\mapsto$-2 = $\lim_{x \to -2}f(x) = -2$
2. w przedziale <-2,2> wykres przechodzi w wykres funkcji kwadratowej o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w początku układu współżędnych. Dla x=-2 będzie f(x)=f(-2)=-4. Dlla x=0, f(x)=0. Dla x=2, f(x)=-4.
Parabola rozpoczyna się więc od pkt(-2,-4) następnie rośnie do wierzchołka w pkt (0,0) i ponownie maleje do pkt (2,-4)
3. od 2 do $-\infty$ znów jest prosta ale tym razem rosnąca, symetryczna do poprzedniej względem osi OY.
Wykres narasta począwszy od pkt (2,-2) (wyłączając sam punkt (2,-2)), następnie przechodzi przez pkt (4,0) i dalej rośnie do $\infty$. (Granica prawostronna dla x$\mapsto$2 wynosi $\lim_{x \to 2}f(x)$= -2.
Funkcja ma więc nieciągłości (skoki) dla x=-2 oraz x=2.
Myślę, że ten opis pomoże Ci samodzielnie naszkicować wykres.
Rysunku nie mogę zamieścić gdyż jeszcze nie wiem jak to się robi.
b). zbiór wartości określamy z wykresu. Najniższą wartością f(x) jest -4, które ma funkcja dla x=-2 i x=2. Wartość największa jest w $\infty$. Więc $f(x)\in <-4,\infty)$
c). f(x)>1 rozwiązujemy w 3 przedziałach:
1. Dla $x\in (-\infty,-2)$ mamy -x-4>1 $\Rightarrow x<-5$
2. Dla $x\in <-2,2>$ mamy -$x^{2}>1 \Rightarrow $ nie ma rozwiązań w tym przedziale
3. Dla $x\in (2,-\infty)$ mamy x-4>1 $\Rightarrow $x>5.
Zatem f(x)>1 dla $x\in (-\infty,-5)\cup(5,\infty)$.
d. Zgodnie z wykresem funkcja jest rosnąca dla $x\in<-2,0)\cup(2,\infty)$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 45 drukuj