logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Funkcje, zadanie nr 6259

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

niepokonana
postów: 14
2019-09-01 11:50:39

Funkcja kwadratowa zastosowania.


Mamy taki trójkąt.
"Wyraź pole P prostokąta jako funkcję zmiennej x. Określ dziedzinę tej funkcji. Dla jakiego argumentu P(x) funkcja przyjmuje największą wartość?"
Ja nie wiem, jak to zrobić, jak się ma jeden x do całego pola, przecież to jest tylko jeden bok.

EDIT: nie ma obrazka, chodzi o https://imgur.com/a/7fnd42J EDIT 2: Nie, to nie jest kwadrat, to prostokąt.

Wiadomość była modyfikowana 2019-09-01 11:53:42 przez niepokonana

chiacynt
postów: 249
2019-09-01 16:20:03

Na podstawie zamieszczonego rysunku funkcja pola prostokąta wpisanego w trójkąt prostokątny określona jest wzorem:

$ P(x) = x\cdot( 6-x) = -x^2 + 6x \ \ (1) $

Dziedziną tej funkcji jest przedział $ D_{P}= (0, 6 ). $

Wartością największą

$ P_{max}= P(3) = -3^2 +6\cdot 3 = -9 + 18 = 9.$

Zauważmy, że wartość największa funkcji kwadratowej $ (1) $ przyjmowana jest dla argumentu $ x_{w}= \frac{-b}{2a}= \frac{-6}{-2}= 3 $ - w środku przedziału $ (0, 6)$ będącego dziedziną funkcji $ P.$




niepokonana
postów: 14
2019-09-01 16:24:40

Dziękuję.
EDIT: ale w odpowiedziach jest, że $-2x^{2}+6x=0$.
EDIT: Dobra, nieważne.

Wiadomość była modyfikowana 2019-09-01 17:19:24 przez niepokonana

chiacynt
postów: 249
2019-09-01 17:22:06

Drugi sposób właściwy, przyjmując, że czworokąt wpisany w trójkąt prostokątny nie jest kwadratem.

Pole czworokąta:

$ P(x,y) = x\cdot y $

Z podobieństwa trójkątów prostokątnych:

$ \frac{6-y}{x} = \frac{6}{3}= 2 $

Stąd $ y = 6 -2x = 2(3-x) $

Pole prostokąta

$ P(x) = x\cdot 2(3 - x) = -2x^2 +6x $

Dziedzina funkcji pola:

$ D_{P} = (0, 3) $

Wartość największa funkcji pola

$ P_{max} = 1.5\cdot 2(3 -1,5) = 3\cdot 1,5 = 4,5.$

Optymalne wymiary prostokąta $ x^{*}\times y^{*} = 1,5\times 3. $




niepokonana
postów: 14
2019-09-01 18:04:42

Aaa dobra, dzięki.
EDIT: Sorry, ale skąd wziąłeś, że to jest podobieństwo trójkątów? Przecież my liczymy pole prostokąta...

Wiadomość była modyfikowana 2019-09-01 18:39:03 przez niepokonana

chiacynt
postów: 249
2019-09-01 18:53:29

Podobieństwo "dużego" i "małego" trójkąta prostokątnego wynika z z cechy podobieństwa trójkątów "kąt-kąt-kąt".


niepokonana
postów: 14
2019-09-01 18:55:03

Wiem, że mają trzy takie same kąty, ale skąd wiedziałeś, że tutaj to ma zastosowanie?


chiacynt
postów: 249
2019-09-01 20:45:17

W zadaniach optymalizacyjnych na układanie wzoru funkcji kwadratowej dążymy do uzależnienia jednej zmiennej na przykład $ y $ od zminnej $ x, $ po to by mieć funkcję kwadratową jednej zmiennej na przykład od $ x.$ W tym celu wykorzystujemy twierdzenie Talesa lub twierdzenia o podobieństwie trójkątów.

Można znajdować ekstrema funkcji dwóch zmiennych, ale te metody poznajemy na studiach.


niepokonana
postów: 14
2019-09-01 22:54:07

Aaaa dobra, albo twierdzenie Talesa albo podobieństwo.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 9 drukuj