logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Funkcje, zadanie nr 6260

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

niepokonana
postów: 14
2019-09-01 11:58:43

Funkcja kwadratowa zastosowania.

Przepraszam, że tak dużo, ale jestem do tyłu z materiałem.

"Na okręgu obrało n różnych punktów. Każdy z nich połączono odcinkami ze wszystkimi pozostałymi punktami. Ile było odcinków?"
N jest liczbą naturalną, wzór na liczbę przekątnych nie działa.


chiacynt
postów: 290
2019-09-01 16:00:29

Zadanie alternatywne

Ile boków i przekątnych ma $ n-$ kąt wypukły wpisany w okrąg?

Każdy z $ n\in N $ wierzchołków $ n- $ kąta możemy połączyć z pozostałymi $ n-1 $ wierzchołkami na

$ N_{n} = \frac{n\cdot (n-1)}{2} = \frac{1}{2}(n^2 -n) \ \ (1)$ (boków + przekątnych).

Dzielenie przez $ 2 $ wynika z tego, że mamy podwójny sposób łączenia wierzchołków $ n -$ kąta - z prawej strony w lewo lub z lewej strony w prawo.

Sprawdźmy, jak ten wzór działa.

Trójkąt

$ N_{3} = \frac{3\cdot (3-1)}{2} = \frac{3\cdot 2}{2} = 3$ - ma (3 boki + 0 przekątnych).

Czworokąt

$ N_{4} = \frac{4\cdot (4-1)}{2}= 6 $ ( 4 boki + 2 przekątne)

Pięciokąt

$ N_{5} = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5\cdot 4}{2} = 10 $ (5 boków + 5 przekątnych)

itd.

Można udowodnić wzór $ (1) $ metodą indukcji zupełnej względem $ n $ odcinków ( boków + przekątnych).



niepokonana
postów: 14
2019-09-01 16:06:45

Dziękuję.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 56 drukuj