logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Funkcje, zadanie nr 6261

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

niepokonana
postów: 14
2019-09-01 18:39:53

Funkcja kwadratowa zastosowania.
"13. Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny o przeciwprostokątnej długości 4. Na bokach tego trójkąta obrano punkty D, E, F, takie że punkt D jest środkiem przeciwprostokątnej, a odcinek EF jest do niej równoległy. Jakie jest największe możliwe pole trójkąta DEF?"


chiacynt
postów: 290
2019-09-01 19:30:55

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość $ a $ równych przyprostokątnych trójkąta prostokątnego równoramiennego.

$a^2 +a^2 = 4^2$

$ 2a^2 = 16$

$ a^2 = 8 $

$ a = \sqrt{8}= 2\sqrt{2}.$

Oznaczamy długości przyprostokątnych trójkąta $ DEF $

odpowiednio $ |DE| = x, \ \ |DF| = y.$

Pole trójkąta $ DEF $

$ P(x,y) = \frac{1}{2}x\cdot y \ \ (1)$

Z cechy podobieństwa "kąt- kąt- kąt" trójkątów prostokątnych

wynika proporcja:

$ \frac{y}{2\sqrt{2} -x} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=1,$

z której $ y = 2\sqrt{2} - x \ \ (2) $

Podstawiamy $ (2) $ do $ (1) $ i otrzymujemy funkcję kwadratową pola trójkąta $ DEF $ zależną tylko od jednej zmiennej $ x>0 $

$ P(x) = \frac{1}{2} x\cdot (2\sqrt{2}- x) = -\frac{1}{2}x^2 +\sqrt{2}x.$

Dziedziną tej funkcji jest przedział $ (0, 2\sqrt{2}) $

$ x_{w} = \frac{\sqrt{2}}{2\cdot \frac{1}{2}}= \sqrt{2}$ (środek przedziału dziedziny).

Wartość największą pola trójkąta $ DEF $ jest

$ P_{max} = \frac{1}{2}\sqrt{2}(2\sqrt{2}-\sqrt{2}) = \frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \sqrt{2} = 1. $


niepokonana
postów: 14
2019-09-01 20:37:02

Nie wiem, skąd wziąłeś tę proporcję, ale ok, dzięki.
Wolałabym tak bardziej krok po kroku bez przeskakiwania do gotowej proporcji.

Wiadomość była modyfikowana 2019-09-01 20:39:18 przez niepokonana

chiacynt
postów: 290
2019-09-01 20:50:41

Wykonaj rysunek. Weź pod uwagę trójkąt wpisany, prostokątny, dolny w prawym rogu i trójkąt prostokątny duży.

Co powiesz o kątach tych trójkątów. Są takie same, więc stosunek (iloraz) długości ich przyprostokątnych jest taki sam.


chiacynt
postów: 290
2019-09-01 21:50:03

Zauważmy, że trójkąt prostokątny "duży" o polu

$ P_{d} = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}= 4 $

został podzielony na cztery trójkąty prostokątne przystające o maksymalnych polach równych $ 1.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 52 drukuj