logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Wyrażenia algebraiczne, zadanie nr 6267

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

macierz_anka
postów: 1
2019-09-10 01:07:59

Znajoma znajomego dostała taki dowód na pierwszych lekcjach matematyki w liceum. Tożsamość algebraiczna:
Jeśli $a+b+c=0$ to:
$\frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{5} = \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2} \cdot \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}$

Jeszcze jest inny podpunkt, ale tak samo ułożony (5 -> 7, 2 zostaje, 3 -> 5).
Może nie widzę jakiegoś przejścia?
Czy na pewno nie ma w tym jakiegoś błędu?
Pozdrawiam



pomocy
postów: 6
2020-01-20 22:27:08

Pokażemy, że lewa strona równania jest równa prawej. Popatrzmy najpierw na lewą stronę, z założenia a+b+c=0 dostajemy, że a+b=-c
podnosząc obie strony do potęgi piątej dostajemy, że $ (a+b)^{5}=(-c)^{5}$ czyli $ (a+b)^{5}=-c^{5}$ zatem $-(a+b)^{5}=c^{5}$.
Podstawmy otrzymany wynik w lewej stronie równania za c, mamy $\frac{a^{5}+b^{5}+(-(a+b)^{5})}{5}$.
Ze wzoru Newtona, lub z trójkąta Pascala, wiemy, że $(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$. Zatem
$\frac{a^{5}+b^{5}+(-(a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}))}{5}$. Widzimy, że piąte potęgi się redukują i zostaje
$\frac{-5a^{4}b-10a^{3}b^{2}-10a^{2}b^{3}-5ab^{4}}{5}=\frac{-5ab(a^{3}+2a^{2}b+2ab^{2}+b^{3})}{5}=-ab(a^{3}+2a^{2}b+2ab^{2}+b^{3})$.
Zanim zajmiemy się prawą stroną zauważmy, że $ (a+b)^{3}=(-c)^{3} \Rightarrow -(a+b)^{3}=c^{3} $,
natomiast $(a+b)^{2}=(-c)^{2} \Rightarrow (a+b)^{2}=c^{2}$. Podstawmy do prawej strony
$\frac{a^{2}+b^{2}+(a+b)^{2}}{2} \cdot \frac{a^{3}+b^{3}-(a+b)^{3}}{3} = \frac{a^{2}+b^{2}+a^{2}+2ab+b^{2}}{2} \cdot \frac{a^{3}+b^{3}-a^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}}{3} = \frac{2a^{2}+2b^{2}+2ab}{2} \cdot \frac{-3a^{2}b-3ab^{2}}{3} =
(a^{2}+b^{2}+ab) \cdot \frac{-3ab(a+b)}{3} = (a^{2}+b^{2}+ab) \cdot (-ab(a+b)) $ $ = -ab(a+b) \cdot (a^{2}+b^{2}+ab)
= -ab(a^{3}+ab^{2}+a^{2}b+ba^{2}+b^{3}+ab^{2}) = -ab(a^{3}+2a^{2}b+2ab^{2}+b^{3}) $

Zatem lewa równa prawej.


Wiadomość była modyfikowana 2020-01-20 22:33:38 przez pomocy
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 26 drukuj