logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 6270

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

nice1233
postów: 141
2019-09-12 23:13:30

$x^{3-log_{10}(x/3)}=900$ Jak rozwiązać to prościej niż poniżej:

Wskazówka: Doprowadź do postaci iloczynowej:


$\[\begin{align}
& {{x}^{3-\log \frac{x}{3}}}=900\ \\
& {{x}^{3-(\log x-\log 3)}}=900\ \\
& {{x}^{3-\log x+\log 3}}=900|{{\log }_{10}} \\
& {{\log }_{10}}{{x}^{3-\log x+\log 3}}={{\log }_{10}}900 \\
& \left( 3-\log x+\log 3 \right){{\log }_{10}}x={{\log }_{10}}{{30}^{2}} \\
& \left( 3-\log x+\log 3 \right){{\log }_{10}}x=2{{\log }_{10}}30 \\
& t={{\log }_{10}}x \\
& (3-t+\log 3)\cdot t=\log 9+\text{log}100\ \\
& 3t-{{t}^{2}}+\log 3\cdot t=\log {{3}^{2}}+2\ \\
& -{{t}^{2}}+(3+\log 3)\cdot t=2\text{log}3+2\ \\
& -{{t}^{2}}+(3+\text{log}3)\cdot t-2\text{log}3-2=0\ \\
& \Delta ={{(3+\text{log}3)}^{2}}-4\cdot (-1)\cdot (-2\text{log}3-2)=9+6\text{log}3+{{(\text{log}3)}^{2}}\ =-8\text{log}3-8=1-2\text{log}3+{{(\text{log}3)}^{2}}={{(1-\text{log}3)}^{2}}\ \\
& \sqrt{\Delta }=\sqrt{{{(1-\text{log}3)}^{2}}}=1-\text{log}3 \\
& {{t}_{1}}=\frac{-(3+\text{log}3)-(1-\text{log}3)}{2\cdot (-1)}=\frac{-3-\text{log}3-1+\text{log}3}{-2}=\frac{-4}{-2}=2\ \\
& {{t}_{2}}=\frac{-(3+\text{log}3)+(1-\text{log}3)}{2\cdot (-1)}=\frac{-3-\text{log}3+1-\text{log}3}{-2}=\frac{-2-2\text{log}3}{-2}=\ =\frac{-2\cdot (1+\text{log}3)}{-2}=1+\text{log}3 \\
& \log x=2\ \\
& x={{10}^{2}}\ \\
& x=100 \\
& \operatorname{lub} \\
& \log x=1+\log 3\ \\
& \log x-\log 3=1\ \\
& \log \frac{x}{3}=\log 10\ \\
& \frac{x}{3}=10\ /\cdot 3\ \\
& x=30 \\
\end{align}\]
$


agus
postów: 2297
2019-09-13 23:41:40

A może tak:

$x^{3-log_{10}\frac{x}{3}}=30^{2}$

x=30 i $3-log_{10}\frac{x}{3}=2$

x=30 i $log_{10}\frac{x}{3}=1$


agus
postów: 2297
2019-09-13 23:42:21

czyli x=30

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 15 drukuj