logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Stereometria, zadanie nr 6275

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ruffneckhyhy
postów: 4
2019-09-25 17:22:41

W ostrosłupi prawidłowym trójkątnym kąt płaski przy wierzchołku ma miarę alfa,Oblicz cosinus kata zawartego miedzy dwoma sasiednimi scianami bocznymi tego ostroslupa jesli cos=-\frac{7}{25}



chiacynt
postów: 264
2019-09-25 20:47:14

Domyślam się, że

$ \cos(?) =\cos(\alpha) = - \frac{7}{25}$

Rysunek

Niech $ \beta$ oznacza miarę kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa

Z twierdzenia kosinusów:

$ a^2 = l^2 +l^2 - 2l\cdot l \cos(\beta) $

gdzie:

$ a $ - długość krawędzi podstawy ostrosłupa

$ l $ - długość jednego z ramion trójkąta równoramiennego.

Ramię to jest prostopadłe do krawędzi bocznej ostrosłupa.


$ \cos(\beta) = \frac{2l^2 -a^2}{2l^2}= 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{a}{l}\right)^2 \ \ (1) $

$ \frac{a}{l} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)} (2) $

Ze wzoru trygonometrycznego

$ \cos(\alpha) = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-1 $

$ \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1}{2}(\cos(\alpha) +1) \ \ (3) $

Na podstawie $ (3), (2)$

$ \left(\frac{a}{l}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \left(\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{1}{\frac{1}{4}( \cos(\alpha)+ 1 )^2} = \frac{4}{(\cos(\alpha)+ 1 )^2}$

Z $ (1) $

$ \cos(\beta) = 1 - \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{(\cos(\alpha) +1)^2} = 1 - \frac{2}{(\cos(\alpha)+ 1)^2}. $






chiacynt
postów: 264
2019-09-25 21:02:18

Założenie:

$ -1 < 1 - \frac{2}{(\cos(\alpha) + 1)^2}< 1$

Pana wartość kosinusa miary kąta $ \alpha $ tego warunku nie spełnia.

Wiadomość była modyfikowana 2019-09-25 21:26:10 przez chiacynt
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj