logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Równania i nierówności, zadanie nr 6283

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kacyper03
postów: 6
2019-11-10 00:04:28

|4-x|=|x+3|
|4-x|=x+3 v |4-x|=-x-3
4-x=-x-3 v 4-x=x+3
x=1/2

|4-x|=-x-3
x=zbiór pusty

Tylko, że (|4-x|=-x-3)=(|4-x|=|3+x|)

Czy ktoś mógłby mi pomóc wskazać mi mój błąd?

Wiadomość była modyfikowana 2019-11-10 09:13:09 przez kacyper03

chiacynt
postów: 330
2019-11-10 17:41:58

$ |4- x| = |x+3| \ \ (1) $

Niech $ x $ będzie dokładnie jedną ustaloną liczbą rzeczywistą, która spełnia równanie $(1). $

Ale jaka to liczba tego nie wiemy.

Z równości prawdziwej, otrzymujemy dalsze równości prawdziwe

$ |4-x|^2 = |x+3|^2 $

$ 16 -8x +x^2 = x^2 +6x +9 $

$ 14x = 7 $

$ x = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}. $

A stąd otrzymujemy, że prawdziwa jest równość

$ x = \frac{1}{2}. $

Liczba $ x = 2 $ jest rozwiązaniem równania $(1).$


kacyper03
postów: 6
2019-11-10 18:43:18

Jednakże po podstawieniu 1/2 pod x w |4-x|=-x-3 zachodzi sprzeczność, co jest dla mnie trochę dziwne ponieważ |4-x|=|x+3| ma takie same dwa rozwiązania co |4-x|=-x-3 czyli 4-x=-x-3 v 4-x=x+3 więc w teorii powinna zachodzić równość z własności wartości bezwzględnej, że
(|4-x|=-x-3)=(|4-x|=|x+3|). Jednak taka równość nie zachodzi

|4-x|=-x-3 traktuję jako oddzielne niezależne równanie


chiacynt
postów: 330
2019-11-10 20:42:20

Nie potrafisz rozwiązywać równań z podwójną wartością bezwzględną, bo stosujesz sposób rozwiązania z pojedynczą wartością bezwzględną, tak jakby po drugiej stronie równania występowała liczba, a nie wartość bezwzględna.

Drugi sposób - z definicji wartości bezwzględnej

$ |4 - x| = |x +3| $

$ |4 - x| - |x+3| = 0 \ \ (1) $

$ |4 -x|=\begin{cases} 4 - x \ \ \mbox{gdy}\ \ 4 -x \geq 0 \ \ (x\leq 4) \\ -4 + x \ \ \mbox{gdy} \ \ 4 - x <0 \ \ (x>4) \end{cases}$

$ |x+3|=\begin{cases} x+3 \ \ \mbox{gdy}\ \ x+3 \geq 0 \ \ (x\geq -3) \\ -x - 3 \ \ \mbox{gdy} \ \ x+ 3 <0 \ \ (x<-3) \end{cases}$

Definicje tych wartości bezwzględnych podzieliły nam oś liczbową $ Ox $ na przedziały:

$ I. \ \ -\infty < x <-3 $

$ II. \ \ -3 \leq x \leq 4 $

$ III. \ \ 4 < x < +\infty $

Znajdujemy rozwiązania równania $ (1) $ w każdym z przedziałów I. II. III.

$ I. 4 -x -x -3 = 0 $

$ -2x +1 = 0, \ \ -2x = -1, \ \ x = \frac{1}{2}$

$ II. 4 -x + x +3 = 0,$

$ 7 = 0 $ - równanie sprzeczne.

$ III. -4 + x + x +3 = 0, $

$ 2x -1 = 0, \ \ 2x = 1, \ \ x = \frac{1}{2}\notin III.$

Jedynym rozwiązaniem równania $ (1) $ jest liczba $ x =\frac{1}{2}.$

Zauważmy, że ta metoda jest znacznie dłuższa od metody pierwszej, którą podałem w pierwszym rozwiązaniu i wymaga większego skupienia.



Wiadomość była modyfikowana 2019-11-10 21:45:25 przez chiacynt

kacyper03
postów: 6
2019-11-10 21:08:37

Oczywiście. Metody te znam i w zupełności zgadzam się z tym, że wynikiem |4-x|=|x+3| jest tylko x=1/2. Kłopot mam z tym, że, z własności funkcji bezwzględnych wynika, że (|4-x|=|x+3|)=(|4-x|=-x-3) mimo , że wynikiem tego pierwszego jest 1/2, a x w drugim równaniu jest zbiorem pustym.


chiacynt
postów: 330
2019-11-10 21:17:24

Takie własności wcale nie wynikają, jest to zależne od znaku wyrażenia liczby) występującego (występującej) pod znakiem modułu.


kacyper03
postów: 6
2019-11-10 21:37:41

Rozumiem. Myślałem, że jeśli rozwiązaniami |4-x|=|x+3| są 4-x=-x-3 (0=7 czyli sprzeczność) v 4-x=x+3 (x=1/2) oraz rozwiązaniami |4-x|=-x-3 są 4-x=-x-3 (0=7 czyli sprzeczność) v 4-x=x+3 (x=1/2 czyli w tym przypadku sprzeczność bo wartość bezwzględna po podstawieniu = -3,5)
To (|4-x|=|x+3|)=(|4-x|=-x-3). Po prosty zbiory rozwiązań mi się nie zgadzały. Dziękuję za pomoc

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 106 drukuj