logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Geometria, zadanie nr 6284

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

marrro
postów: 6
2019-11-14 19:36:39

Natknąłem się na zadanie przygotowane w styczniu 2019 roku przez Politechnikę Wrocławską dla kandydatów na studia, poziom podstawowy i nie mogę uzależnić żadnego z boków prostokąta od podanego kąta $\alpha$.
To zadanie z kursu korespondencyjnego, ale termin nadsyłania prac minął już dawno, więc chyba nic nie stoi na przeszkodzie, by ktoś pokazał rozwiązanie? Nie wiem, jakąś zaćmę mam
Treść jest taka:
W romb ABCD o kącie ostrym $\alpha$ wpisano czworokąt, którego boki są równoległe do przekątnych rombu. Jakie jest możliwie największe pole takiego czworokąta?

Wiadomość była modyfikowana 2019-11-14 19:44:24 przez marrro

chiacynt
postów: 330
2019-11-16 22:49:32

Inne sformułowanie zadania.

Ze wszystkich prostokątów wpisanych w romb, proszę znaleźć prostokąt o największym polu.

Rysunek

Ze względu na symetrię rysunku - rozpatrujemy ćwiartkę rombu i ćwiartkę prostokąta wpisanego - na przykład lewy, górny trójkąt prostokątny rombu z wpisaną w niego ćwiartką prostokąta.

Oznaczenia:

$ x $-długość boku poziomego ćwiartki prostokąta.

$ y $- długość boku pionowego ćwiartki prostokąta.

$ q $ -połowa przekątnej poziomej rombu (podstawa trójkąta prostokątnego, przyprostokątna - pozioma).

$ p $ - połowa przekątnej pionowej rombu (wysokość trójkąta prostokątnego, przyprostokątna-pionowa)

Pole całego prostokąta wpisanego w romb:

$ P(x,y) = 4x\cdot y \ \ (1) $

Z podobieństwa trójkątów prostokątnych (cecha kkk)

$ \frac{x}{p-y} = \frac{q}{p} $

Stąd

$ p\cdot x = p\cdot q - q\cdot y $

$ q\cdot y = pq - p\cdot x |: q $

$ y = p - \frac{p}{q}\cdot x \ \ (2) $

$ \frac{p}{q} = \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\ \ (3) $

Z $ (3),\ \ (2)$

$y = p-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot x\ \ (4)$

Z $ (4), \ \ (1) $ - pole prostokąta

$ P(x) = 4p\cdot x - 4\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot x^2 \ \ (5) $

Znajdujemy maksimum funkcji kwadratowej $ (5) $

$ x^{*} = -\frac{b}{2a} =\frac{-4p}
{-8\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{p}
{2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\ \ (6) $

Z $ (6), (4)$

$ y^{*} = p - \frac{p}{2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\cdot\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = p - \frac{1}{2}p = \frac{1}{2}p$

Największe pole prostokąta:

$ P^{*}(p) = 4x^{*}\cdot y^{*} = 4 \cdot\frac{p}
{2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\cdot \frac{1}{2}p = \frac{p^2}{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \ \ (7) $

Wyrazimy to optymalne pole prostokąta przez długość boku $ a $ rombu

$ \frac{p}{a} = \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Stąd

$ p = a\cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)\ \ (8) $

Podstawiając $ (8) $ do $ (7) $

$ P^{*}(a) = \frac{a^2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = a^2\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2}a^2 \sin(\alpha) \ \ (9) $

Ze wzoru $ (9) $ wynika, że prostokątem o największym polu wpisanym w romb jest prostokąt, którego pole równe jest połowie pola rombu.




marrro
postów: 6
2019-11-17 01:24:33

Dziękuję.
Po pierwsze ja wprost chciałem uzależnić x od y, a tu faktycznie trzeba dołożyć kolejną zmienną.
Po drugie szukałem, że wyjdzie mi kwadrat, a nie o to pytają w zadaniu, tylko o największe możliwe pole

P.S. Inną sprawą, że będzie to kwadrat

Jeszcze raz bardzo dziękuję.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 98 drukuj