Geometria, zadanie nr 6284
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
marrro postów: 10 | 2019-11-14 19:36:39 Natknąłem się na zadanie przygotowane w styczniu 2019 roku przez Politechnikę Wrocławską dla kandydatów na studia, poziom podstawowy i nie mogę uzależnić żadnego z boków prostokąta od podanego kąta $\alpha$. To zadanie z kursu korespondencyjnego, ale termin nadsyłania prac minął już dawno, więc chyba nic nie stoi na przeszkodzie, by ktoś pokazał rozwiązanie? Nie wiem, jakąś zaćmę mam Treść jest taka: W romb ABCD o kącie ostrym $\alpha$ wpisano czworokąt, którego boki są równoległe do przekątnych rombu. Jakie jest możliwie największe pole takiego czworokąta? Wiadomość była modyfikowana 2019-11-14 19:44:24 przez marrro |
chiacynt postów: 749 | 2019-11-16 22:49:32 Inne sformułowanie zadania. Ze wszystkich prostokątów wpisanych w romb, proszę znaleźć prostokąt o największym polu. Rysunek Ze względu na symetrię rysunku - rozpatrujemy ćwiartkę rombu i ćwiartkę prostokąta wpisanego - na przykład lewy, górny trójkąt prostokątny rombu z wpisaną w niego ćwiartką prostokąta. Oznaczenia: $ x $-długość boku poziomego ćwiartki prostokąta. $ y $- długość boku pionowego ćwiartki prostokąta. $ q $ -połowa przekątnej poziomej rombu (podstawa trójkąta prostokątnego, przyprostokątna - pozioma). $ p $ - połowa przekątnej pionowej rombu (wysokość trójkąta prostokątnego, przyprostokątna-pionowa) Pole całego prostokąta wpisanego w romb: $ P(x,y) = 4x\cdot y \ \ (1) $ Z podobieństwa trójkątów prostokątnych (cecha kkk) $ \frac{x}{p-y} = \frac{q}{p} $ Stąd $ p\cdot x = p\cdot q - q\cdot y $ $ q\cdot y = pq - p\cdot x |: q $ $ y = p - \frac{p}{q}\cdot x \ \ (2) $ $ \frac{p}{q} = \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\ \ (3) $ Z $ (3),\ \ (2)$ $y = p-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot x\ \ (4)$ Z $ (4), \ \ (1) $ - pole prostokąta $ P(x) = 4p\cdot x - 4\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot x^2 \ \ (5) $ Znajdujemy maksimum funkcji kwadratowej $ (5) $ $ x^{*} = -\frac{b}{2a} =\frac{-4p} {-8\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{p} {2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\ \ (6) $ Z $ (6), (4)$ $ y^{*} = p - \frac{p}{2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\cdot\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = p - \frac{1}{2}p = \frac{1}{2}p$ Największe pole prostokąta: $ P^{*}(p) = 4x^{*}\cdot y^{*} = 4 \cdot\frac{p} {2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\cdot \frac{1}{2}p = \frac{p^2}{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \ \ (7) $ Wyrazimy to optymalne pole prostokąta przez długość boku $ a $ rombu $ \frac{p}{a} = \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ Stąd $ p = a\cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)\ \ (8) $ Podstawiając $ (8) $ do $ (7) $ $ P^{*}(a) = \frac{a^2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = a^2\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2}a^2 \sin(\alpha) \ \ (9) $ Ze wzoru $ (9) $ wynika, że prostokątem o największym polu wpisanym w romb jest prostokąt, którego pole równe jest połowie pola rombu. |
marrro postów: 10 | 2019-11-17 01:24:33 Dziękuję. Po pierwsze ja wprost chciałem uzależnić x od y, a tu faktycznie trzeba dołożyć kolejną zmienną. Po drugie szukałem, że wyjdzie mi kwadrat, a nie o to pytają w zadaniu, tylko o największe możliwe pole P.S. Inną sprawą, że będzie to kwadrat Jeszcze raz bardzo dziękuję. |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj