Geometria, zadanie nr 6284
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
marrro post贸w: 10 |  2019-11-14 19:36:39Natkn膮艂em si臋 na zadanie przygotowane w styczniu 2019 roku przez Politechnik臋 Wroc艂awsk膮 dla kandydat贸w na studia, poziom podstawowy i nie mog臋 uzale偶ni膰 偶adnego z bok贸w prostok膮ta od podanego k膮ta $\alpha$. To zadanie z kursu korespondencyjnego, ale termin nadsy艂ania prac min膮艂 ju偶 dawno, wi臋c chyba nic nie stoi na przeszkodzie, by kto艣 pokaza艂 rozwi膮zanie? Nie wiem, jak膮艣 za膰m臋 mam  Tre艣膰 jest taka: W romb ABCD o k膮cie ostrym $\alpha$ wpisano czworok膮t, kt贸rego boki s膮 r贸wnoleg艂e do przek膮tnych rombu. Jakie jest mo偶liwie najwi臋ksze pole takiego czworok膮ta? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2019-11-14 19:44:24 przez marrro |
chiacynt post贸w: 749 | 2019-11-16 22:49:32 Inne sformu艂owanie zadania. Ze wszystkich prostok膮t贸w wpisanych w romb, prosz臋 znale藕膰 prostok膮t o najwi臋kszym polu. Rysunek Ze wzgl臋du na symetri臋 rysunku - rozpatrujemy 膰wiartk臋 rombu i 膰wiartk臋 prostok膮ta wpisanego - na przyk艂ad lewy, g贸rny tr贸jk膮t prostok膮tny rombu z wpisan膮 w niego 膰wiartk膮 prostok膮ta. Oznaczenia: $ x $-d艂ugo艣膰 boku poziomego 膰wiartki prostok膮ta. $ y $- d艂ugo艣膰 boku pionowego 膰wiartki prostok膮ta. $ q $ -po艂owa przek膮tnej poziomej rombu (podstawa tr贸jk膮ta prostok膮tnego, przyprostok膮tna - pozioma). $ p $ - po艂owa przek膮tnej pionowej rombu (wysoko艣膰 tr贸jk膮ta prostok膮tnego, przyprostok膮tna-pionowa) Pole ca艂ego prostok膮ta wpisanego w romb: $ P(x,y) = 4x\cdot y \ \ (1) $ Z podobie艅stwa tr贸jk膮t贸w prostok膮tnych (cecha kkk) $ \frac{x}{p-y} = \frac{q}{p} $ St膮d $ p\cdot x = p\cdot q - q\cdot y $ $ q\cdot y = pq - p\cdot x |: q $ $ y = p - \frac{p}{q}\cdot x \ \ (2) $ $ \frac{p}{q} = \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\ \ (3) $ Z $ (3),\ \ (2)$ $y = p-\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot x\ \ (4)$ Z $ (4), \ \ (1) $ - pole prostok膮ta $ P(x) = 4p\cdot x - 4\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot x^2 \ \ (5) $ Znajdujemy maksimum funkcji kwadratowej $ (5) $ $ x^{*} = -\frac{b}{2a} =\frac{-4p} {-8\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{p} {2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\ \ (6) $ Z $ (6), (4)$ $ y^{*} = p - \frac{p}{2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\cdot\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = p - \frac{1}{2}p = \frac{1}{2}p$ Najwi臋ksze pole prostok膮ta: $ P^{*}(p) = 4x^{*}\cdot y^{*} = 4 \cdot\frac{p} {2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\cdot \frac{1}{2}p = \frac{p^2}{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \ \ (7) $ Wyrazimy to optymalne pole prostok膮ta przez d艂ugo艣膰 boku $ a $ rombu $ \frac{p}{a} = \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ St膮d $ p = a\cdot \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)\ \ (8) $ Podstawiaj膮c $ (8) $ do $ (7) $ $ P^{*}(a) = \frac{a^2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} = a^2\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2}a^2 \sin(\alpha) \ \ (9) $ Ze wzoru $ (9) $ wynika, 偶e prostok膮tem o najwi臋kszym polu wpisanym w romb jest prostok膮t, kt贸rego pole r贸wne jest po艂owie pola rombu. |
marrro post贸w: 10 | 2019-11-17 01:24:33 Dzi臋kuj臋. Po pierwsze ja wprost chcia艂em uzale偶ni膰 x od y, a tu faktycznie trzeba do艂o偶y膰 kolejn膮 zmienn膮. Po drugie szuka艂em, 偶e wyjdzie mi kwadrat, a nie o to pytaj膮 w zadaniu, tylko o najwi臋ksze mo偶liwe pole  P.S. Inn膮 spraw膮, 偶e b臋dzie to kwadrat Jeszcze raz bardzo dzi臋kuj臋. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj